103971

Algebra liniowa z geometrią analityczną Lista 3: Arytmetyka modularna (kongruencje). Ciała.

1.    Znaleźć resztę z dzielenia:

a)    39¹⁰⁰ przez 38.

b)    16²³¹ 4- 550 przez 17,

c)    3 • 18¹⁸ - 500 • 5¹²⁰ przez 8,

d)    423²⁰⁰ • 562¹⁰⁰ przez 7.

2.    Pokazać, że

a)    liczba 222³³³ 4- iii²²² jest |K>dzielna przez 13.

b)    liczba 2222⁵⁵⁵⁵ 4- 5555²²²² jest podzielna przez 7.

3.    Znaleźć ostatnią cyfrę liczby: a) 19^ł234, b) 23²¹² 4- 41256. c) 7 • 312⁵⁵³ - 6543.

4.    Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby: a) 7²⁰⁴, b) 3li¹²¹ 4- 482, c) 203²²⁸ - 1234.

5.    Rozwiązać kongruencje:

a) 4x = 3 (mod 7), b) 3# = 4 (mod 8), c) 3x = 10 (mod 12), d) 69x = 192 (mod 201).

6.    Rozwiązać kongmencję x⁵ - 2x 4- 1 = 0 (mod 7).

7.    a) W ciele Zg obliczyć:    a) 2 4- 3 • 4,    b)    3²⁰ -    4⁶,    c) 2"¹,    d)    2"⁸    -    4    • S^-6.

b) W ciele Z29 obliczyć:    a) 27 • 5 - 19.    b)    12"',    c) 4    • 21"³    4-    3⁴    •    5    -    2"⁶.

8.    WcieleZi7 rozwiązać równania: a) 8x = 1. b) 9x = 16, c) -10x = 11, d) x²4-3x4-11 = 0.

9.    Które z poniższych zbiorów ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb są ciałami:

a)    A'i = {j : a.b ę Z i 6 jest liczbą meparzystą},

b)    K2 = {« 4 &v/2 :    a,6ęZ},

c)    A'₃ = (a 4- bs/⁷! :    a,6€Q},

d)    K\ = {a 4- b\/2 :    a, 6 € Q}.

10.    W zbiorze A' = {x € Q : 0 < x < 1} definiujemy działania dodawania i mnożenia:

a 4- b = max{a,6}, a • b = min{«./>}.

Czy zbiór K z tymi działaniami jest ciałem?

11.    Zbiór K = {«./>, c} z poniższymi działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem:

4-	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

	a	b	c
a	a	a	a
b	a	b	c
c	a	c	b

W tym ciele rozwiązać równania:

a)    6 4- x = c 4- ab,

b)    cx = a + c² — b,

c)    (6x 4- c)c = (a 4- c)b.

d)    (cx — b)c = (a — c~¹ )6.

12. a) Podać przykład ciała takiego, że 14-14-14-14-14-1=0.

b) Udowodnić, że jeśli w ciele zachodzi równość 14-14-14-14-14-1=0, to 14-1=0 lub 14-14-1=0.