103973

Algebra liniowa z geometrią analityczną Lista 5: Liczby zespolone (cz. 2)

1. Podane liczby zapisać w postaci trygonometrycznej:

a) -5 + 5i,    b) -Sy/3,    c) -4i,    d) 1 - t A

e) 2\/3 - 2i,    f) sina — icosa,    g) 1 + cosa 4- isin a.

2. Wykonać działania (wynik przedstawić w ]X)staci algebraicznej):

a) (I-i)¹⁵,    b) (2 - 2\/3t)²⁰⁰,

^d)    e) (cos f- isin |)'°,

3. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory:

a)    A = {z € C : § < arg 2 < £},

b)    D= {zeC: arg (2 -t- 3 - 4i) = 4f},

c)    C= {z G C: arg (ii) > ^}.

d)    D={ze C: Ł!<arg[(i-if )*)<$}.

e)    £={:eC: f < arg (i⁴) < *},

f)    F = {2 G C : arg i < i 4 < | 2 - 2i - 2 |< 6}.

c) (2v/3 - 2*')²⁰ • (3 + 3i)¹⁰,

0

(cos &Ł+i*in 2f)^ir'

4. Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić:

a)    sin 3x w j>ostaci wielomianu od sin x;

b)    cos 3x w |>ostaci wielomianu od cos x;

c)    sin 5x w |K>staci wielomianu od sin x i cos x:

d)    ctg3x jako funkcję ctgx;

e)    tg 4x jako funkcję tg x.

5. Podane liczby zespolone zapisać w postaci wykładniczej:

a) 1—i,    b)-6, c) —2i,    d) (l+i) (cos —4-isin^), e) [3(co6~+£sin4f)]⁴².

6.    Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:

a) e**,    b)6e*¥, c) 2e*ł • (1 - i), d) (3e^)⁸, _e)

7.    Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki:

a) śP-l + i,    b) \/-8 + 8v/3*,    c) ^27,    d)    e) tfl.

8.    Obliczyć pierwiastki:

a) \/(3 - 4i)². b) </(-! + 3/)¹. c) ^(1 + 2/)°. d) ^(1 - i)'^J.

9. W liczbach zespolonych rozwiązać równania:

a) 2³ = (1 + 3i)³,    b) (2 - i)⁴ = (z + i)⁴,    c) z³ = (1+ iz)³.

10. Jednym z wierzchołków kwadratu (na płaszczyźnie zespolonej) jest punkt 4 - i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu, jeżeli jego środkiem jest:

a) początek układu współrzędnych;    b) punkt 1;

c) punkt 3 + i;    d) punkt 7 + \/2 i.

11. Punkty 2 = 1 — 3i i w =    1 + 5£ płaszczyzny zespolonej są przeciwległymi wierzchołkami

kwadratu. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu.