103976

Algebra liniowa z geometrią analityczną Lista 8: Układy równań liniourych

1. Podane macierze sprowadzić do postaci bazowej i wyznaczyć ich rzędy:

	1-1 2 '		'2-11-1'		'3 2 4 '
a)	-2 3 1 5 -7 -4	; b)	1111 2 0 2 2	; c)	2 1—1 1    1 5 2    3 4

				1 4 5 ‘
2 10 3' -10 2 1	; e)	'2 4 -2 4' -4-8 4 3	; f)	1 2 4 -1 2 -2
4 2 0 6 -12 3 0		-2-4 5 2 6 12 -1 0 2 4-11		2 2 7 0 2 4
				-1 -4 4

2. Podane układy równań przedstawić w postaci macierzowej (znaleźć macierze A. D i A'):

b) x + 2y — 3z 4- ł = —2 2x 4- y - 3< = 2 2x 4- y 4- 5z = -1

a) X\ 4- 8x₂ 4- x₃ 4- 2x₄ = 6 2xi 4- x₂ - x₃ - 2x₄ = 1 x\ 4- 2x₂ 4- 5x₃ 4- xą = -9 2xj 4- 4x₂ — 9x₃ — 3x4 = 0 2xi 4- x₂ 4- 6x₃ - 3x₄ = 1

3. Rozwiązać podane układy równań metodą eliminacji Gaussa:

c) x 4- 2y + z 4-1 = 1 x 4- 2y 4- 5s 4- 3f = 3 2x 4- 4y — z — t = 2

f) 2x, 4- 4x₂ - 2x₃ 4- 4x₄ = 6 3xi 4- 2x₂ 4- x₃ - 2x4 = 1 3xi 4- 4x₂ - x₃ 4- 2x4 — 5

a) 3x 4- 2y 4- 4z 4-1 = 1 3x 4" y 4" 62 4" At = 2 2x 4- 2y 4- 2z 4- 2< = 0

d) xi 4- 2x₂ 4- 3x₃ 4- 5x* = 3 2xi 4- 4x₂ — x₃ — X4 = 2 X| 4- 2x₂ 4- x₃ 4- X4 = 1 2xi 4- 4x₂ — 3x₃ — 5x4 = 0

b) 2xj 4* 4x₂ 4* 2x₃ — 4

—X\ — 2x₂ 4- 2x₃ 4- 2x4 = 4 2xj 4- 4x₂ 4" 6x₃ 4- 2x4 — 10

e) 3x 4- 2y 4- z = 0

2x 4- 2y 4- Az 4- 2ł = 2 x + y + 2z + t= l 7x 4- 5y 4- 4z 4-1 = 1

4. Zbadać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru a.

a) 2x 4- y 4- 3z 4-1 = 6 -x 4- 2y 4- 2 4- 2t = 7 x 4- 2y 4- az 4- 4f = 1

b) x\ 4- 2x₂ 4- 3x₃ 4- X4 = 1 2xj 4- x₂ 4- 2x₃ - 2x4 = 7 Xi 4- x₂ - 2x₃ 4- ax,j = 0 3x] 4- 2x₂ 4- x₃ 4- 2x4 — 1

c) x4-j/4-22 4-t = 5 2x4-y — 2 4 2< = a 4x 4- y - 7z 4- 4f = 5 6x 4- y - 13 z 4- 6ł = 5

5. Rozwiązać podane układy równań metodą kolumn jednostkowych:

c) 3x4-2y4-2 — < = 0 5x - y 4- z + 2ł = -4 7x 4- 8y 4- z — 7t = 6 x - y + z + 2t = 4

a) 2x - y + z = 1 -4x — 12// 4-2 = 2 3x 4- Sy 4- z = 3

b) 4xi 4- 3x₂ 4- 5x₃ 4- 7x₄ = 2 2xj — x₂ 4- x₃ 4- 3x4 — 4 x\ 4- 2x₂ 4- 2x₃ 4- 2x₄ = -1 3xj 4- x₂ 4- 3x₃ 4- 5x4 = 3