103970

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 2: Relacja podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność, algorytm Euklidesa

1.    Ile jest liczb naturalnych n należących do przedziału (100.1000) takich, że

a) 7 | n, b) 8 | n lub 5 | n, c) 3 | n i 4 /f n, d) 6 / n i 11 / n ?

2.    Chłopiec miał 10 kartek papieru. Niektóre z tych kartek rozciął na 7 kawałków. Następnie niektóre z tak otrzymanych kawałków znowu rozciął na 7 części, i tak postąpił kilka razy. Czy mógł w rezultacie otrzymać 2008 kawałków? A 2010 kawałków?

3.    Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n:

a)    4 | 5⁵"^-2 4- 3,

b)    10 | 3⁴”⁺² 4- 1.

c)    133 | ll"⁺²+ 12²ⁿ⁺¹,

d)    7 | 2^r,+2 4- 3^2n+I,

e)    6-1 | 3²"⁺ⁱ 4- 40/j - 67.

f)    9 | 4" 4- 15n - 1,

g)    3 | 10" 4- 4ⁿ - 2,

h)    43 | 6^,,+2 4- 7^2n+l,

i)    19 j 5^2n-,2ⁿ⁺¹ 4- 3^n+,2^2n_1.

4.    Wykazać, że nic istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13. a przy dzieleniu przez 21 daje resztę 2.

5.    Dla jakich liczb naturalnych n liczba nr — 7n² - 5n 4- 10 jest jx>dzielna przez liczbę:

a) n 4- 2, b) n - 7 ?

6.    Pokazać, że jeśli każda z liczb a. b, c, d 6 N dzieli się przez ab — cd, to | ab - cd |= 1.

7.    (i) Obliczyć WD(252,198), NWW(252,198), WD(221,754) i NWW(221.754).

(ii) Znaleźć takie liczby całkowite x,y, że:

a) 252x 4- 198i/= A^rH'D(252,198), b) 22Lr 4- 754*/ = NWD{221,754).

8.    Obliczyć NWD(2P³ - 1,2⁹¹ - 1).

9.    Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej « ułamek jest nieskracalny. Zbadać

skracalnosć ułamków:    ^±2.

10.    Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba =^jy jest ca łkowita.

11.    Liczby x, y € Z są takie, że Car 4- 13y dzieli się przez 35. Wykazać, że liczba x 4- 81/ też dzieli się przez 35.

12.    Wykazać, że dla żadnej liczby całkowitej n liczba n² + 5n 4-1 nie jest podzielna przez 49.

13.    Wykazać, że równanie

17x² 4- 95xy 4- 2000y² = 2005 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych x i y.

14.    Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych, których iloczyn jest pięciokrotnie większy od ich sumy.

15.    Rozwiązać równanie p² - 2 q² = 1. jeżeli wiadomo, że pi q są liczlxuni pierwszymi.