4553

132

Geometria analityczna w przestrzeni

Dwunasty tydzień - przykłady

133

styl po roipimiu na współrzędne otrzymamy

{**-!+#,

f*4 + # + 6f. gdzie i,l€ B.

1*1 + 1

f) Foażeważ szukana płaszczyzna r ma być prostopadła do płaszczyzn ri: x+jr+x-$ * 0. t_; ; z - y + 2 = 0, więc jej wektor normalny ii powinien być prostopadły do wektora normalnego li = (1.1,1) płaszczyzny r, orni do wektora normalnego ih = (1* —1,0) ptaMayiBy ii. Wektor prostopadły do wektorów S| i 1} ma postać

Dla uproszczenia dalszych obliczeń skracamy wektor normalny op. do postaci ri n (4,-1,1). Znajdziemy teraz punkt należący do płaszczyzn r₍ j tj. Przyjmując ap. y ■ 0,

* ’    ¹ . Rozwiązaniem tego układu równań jest

j — g — —24.

para * = -4, z = 4. Zatem P = (-4,0,4) jest punktem wspólnym płaszczyzn tj i r,. Ponieważ płaszczyzna dwusieczna przechodzi przez punkt P i ma wektor normalny 1, zatem jej równanie ogólne ma postać

x: (x + 4, y - 0, i - 4) o (4,-1,1) = 0,

otrzymamy układ równań

ń=u> x n, = (1,1,1) x;(l,-l,0) =

i i k 1 1 1 I -1 0

= 1 + 1-2*.

stąd

Ponieważ płaszczyzna r przechodzi przez punkt P = (2,3, -6) i ma wektor normalny n = (1,1,-2), więc jej równanie ma postać

- : (x - 2, y - 3, z + 6) o (l, 1, -2) = 0, styl

t: x + |-2x-17*0.

Znajdziemy teraz dwa niewipólliniowc wektory 5 i 3, które rozpinają szukaną płaszczyznę r. Wektory u i 3 muszę być prostopadle do wektora normalnego n = (1,1,-2) tej płaszczyzny. Takimi niewspółliniowymi wektorami są np. i = (1, -1,0) oraz 3 = (0,2,1). Rzeczywiście i o il = 0 oraz 3 o n = 0. Ponieważ płaszczyzna r przechodzi przez punkt P b (2,3, —6) i jot rozpięta przez wektory 1 = (I.-1.0) oraz 3 = (0,2,1), więc jej równanie parametryczne (wektorowe) ma postać

r; (*,f,x) = (2.3,-6) + n(l,-1,0) + ł(0,2_t 1), gdzie *,«€*. stąd otrzymamy

f i-2 + j,

jr: l ys3-J + 2ł, gdzie #,!€/?.

[ x = -6 + l,

g*) Niech ii i 1? oznaczają wektory normalne odpowiednio płaszczyzn *i i fj. Zatem li =

(1.-1,1) oraz Iz “(5,1,-1). Ponieważ płaszczy* zna dwusieczni kąta dwddeanego stworzonego pucz płaszczyzny r, i rj (oznaczona na rysunku przez r), Iwony jednakowe kąty dwuściense t płaszczyznami x, i tj, więc wektor normalny ń lej płaszczyzny jest dwusieczną kąta utworzonego przez wektory normalne 1> i Iz- Wektor 3, który leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wenory li, 1} oraz tworzy z nimi jednakowe kąty ma postać e = fi) + Iz. Zatem wektor normalny 1 płaszczyzny r wyraża się wzorem

t: 4x - jr + s -12 * 0.

Uwaga. Istnieje jeszcze druga płaszczyzna dwusieczna kąta dwnśdeflKgo utworzonego przez płaszczyzny *i i xj. Wektor normalny tej płaszayrny wyraża się wzorem:

n

li n₃ _ 1

liii 7 lizl * J7i

(-2,-2,2).

Równanie drugiej płaszczyzny dwusiecznej ma zatem postać

x : (z +4,y- 0,z - 4) o(l, 1,-1) = 0,

i - ^ł| , ^fil

ⁿ I51⁺i5i

Stąd

x : x+y-x + S*0.

Znalezienie równań parametrycznych płaszczyzn x i x zostawiamy Czytelnikowi.

• Przykład 12.5

Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:

a)    prosta przechodzi przez punkt P = (1,0,2) i jest równoległa do wektora 3 =

(0,5, -3);

b)    prosta przechodzi przez punkty Pi = (-1,1,0), Pj = (0,3, -2);

c)    prosta przechodzi przez punkt P = (1, -5,3) i jest prostopadła do płaszczyzny x: x - 3x + 7 = 0;

d)    prosta przechodzi przez punkt P = (0,0,-2) i jest prostopadła do wektorów 5=(0,1,—5) i 6 = (-2,3,0);

e)    prosta jest dwusieczną kąta utworzonego przez przecinające się proste

r *=-/,    (x=-2+s,

/,:/ jf = 21, gdzie/€ 12,    /j:< Jf = 4-3s, gdzies£H;

I z = 31,    ( * = 6+2#,

(»•-*■ 0    ■_a 1,-i)

V + HP + I* >/* + !» + (-!)»

f) prosta jest częścią wspólną płaszczyzny *i : x + 2* - 4 = 0 i płaszczyzny

*2: x - y + 6 = 0.

Rozwiązanie

Równanie parametryczne prostej / przechodzącej przez punkt Pi ■ (*o,po. zo) o wektorze wodzącym r₀, równoległej do akurowego wektora 0 ■ (a,i,e) ma postać

I: r = fo + tv, gdzie t€łł.