4563

152

Geometria analityczna w przestrzeni

Trzynasty tydzień - przykłady

100

n) Rzut punktu P aa jŁ/yire ir w kierunku wektor* fi j«l punktem puecręci* prostej I, o wektorze kierunkowym fi. poprowadzonej prze* punkt P, t płaszczyzn* * (rysunefcj. Znajdziemy najpierw ró-narne prostej / o wektono kierunkowym fi = (1. —1.1) pr**-.licdząccj Prtfta punkt P • (0.1.0). Mamy

Wyznaczymy teraz punkt P' ■ (x,jr,z) przecięci* prostej I z płaszczyzną *■ \Vnj*»l rzędne tego punktu spełniaj* układ równali

{ i -i- r

[ «+3y-6=»0.

Rozwiązaniem lego układu jest trójka liczb x = - j. y - J. * = -5. '/•“«'« P =

t®

b) Rzut prostej I na płaszczyznę t w kierunku wektora fi wyznaczymy w następujący sposób. Na prostej / wybieramy dwa dowolne punkty A i B. Nuttpnic znajd u-jemn ich rzuty A i B na płaszczyzn; z w kierunku wektora fi. Rzutem prostej l na płaszczyła; r w kierunku wektora fi będzie wtedy prosu I przechodząca pna punkty a" i B (rysunek). Dla uproszczenia obliczeń wygodnie jest przyjąć, żc A jol punktem przednia prostej ł z płaszczyzna r Wtedy oczywiście A = A. Niech A = (z.f.z). Współrzędne punktu A spełniaj* skład równań

f x = —2, = 3z,

\ X + »+ł-5sn0.

Rozwiązaniem tego okłada jest trójka Bab ini,|H -3, x=n 2. Zatem A =(6,-3.2) = A. Wybieramy teraz dowolny punkt B = .y .z ) ? d iw prostej /. Przyjmując

np. z ■ 0 otrzymamy y = 0 oraz s = 0. Postępując podobnie jak w punkcie n) tego przykład* znajdziemy rzut B — (5,—5,5) punktu B na płaszczyznę r w kierunku wektora fi. Teraz znajdziemy równanie prostej / przechodzącej przez punkty A i B'. Mamy

f x | 6-1.

/ : < y = -3 - 21, gdzie t € Jl.

I * = 2 + 31,

• Przykład 13.6

Obliczyć objętości i polu powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami:

a)    x = 0, y = 2, 2 = -I, * + y + = = 0;

b)    rei. x = 2. z-i/eO, x - y = 3, y + z =0, J/ + * = 4-Rozwiązanie

a) Bryła rozważana w zadaniu jest czworościanem, który ma ł/zy parami prostopadle płaszczyzny. Wyznaczymy najpierw wierzchołki A.B.C.D tego czworościanu. Współrzędne tych wierzchołków spełniaj* odpowiednio układy równań

{zsO,    f x =0.    f >■#,    ( P = 2.

**=2.    i y - 2.    < i>-l.    <««-!.

!B-I.    I 1+fłiaC,    l zł|łiB(,    l t + » + ł=6.

Po rozwiązaniu tych układów otrzymamy A = (0.2,— 1), B — (0,2.4). C = (0,7,—1) oraz D m (3.2,-1). Ponieważ czworościan ABCD jest rozpięty na wektorach

ABm (0,0,5), AC* (0,5,0). ADm (5.0.0). więc jego objętość V można obliczyć wykorzystując iloczyn mieszany wektorów. Mamy

ąfe |v|.||(5S.35.3S)|.i|a«[⁰. 5 j]i=1H.    ^

Do obliczenia powierzchni całkowitej S czworościanu ABCD wykorzystamy iloczyn wektorowy. Mamy DBm (—5,0,5) oraz DC* (-5,5.0). Zatem

S m S&AMC + S&AHD + S&ńCIt + 5adbc

= i(|7flxXc| + |dBxdD| + |ACx/U>l + |DflxDc|)

« j k\			i		5*
0 0 5 l+l	0 0 5	l + l	oso	l+l	—5 0 5
0 5 0 1	5 0 0		5 0 0		-5 5 0

(| - 257| + |25y| + | - 25fc| + | - 25Ż - 25j - 25i|) = \ (75 + 25^3) .

b) Bryła rozważana w zadaniu jest rówaoległaśaanem ABCD A B C D . Do obliczenia objętości i poła powierzchni całkowitej tego równołeglośdanu wystarczy znajomość punktów A, B. D i A . Współrzędne tych punktów spełniają odpowiednio układy równań

X = 1.	f mli f X = 1,	{
*-f = 0.	< «-»-*. i 1- y = 0,	< x — y w 0,
V + x = 0.	l y + «-0, ( y + ł = 4.	l y + * ■ 0.
:aniu tych układów otrzymamy
A m (1,1,	-1). B — (1* —2,2), />-(!, 1,3). X	■ (2,2, —2).