4551

128

Geometria analityczna w przesileni

Dwunasty tydzień - przykłady

129

(3.6.2) =

(PQ.PR.PS) =

1

-1

-5

Rozwiązanie

A) Objęto# równoleglośdanu V rozpiętego na wektorach ««. b, c wyraża się wiórem

Równolcglotóan rozważany w zadaniu jejt rozpięty na wektorach

a-/S=(0,2.-3). 5w-40cr(2,0,1), ImAA ■(-l.-J.O),

zatem jego objętość wyraia się wzorem

f 0 2

in=!*»    2    0

l-l -1

b) Objętość czworościanu V rozpiętego na wektorach p, q, ? wyraża się wzorem

Czworościan V rozważany w zadaniu jest rozpięły na wektorach p = (1,1,1), 5 = (i.-1,0), ? = (-1.3,-2). Zatem

1 -1 0 -l 3 -2

• Przy Mad 12.3 Sprawdzić, czy

a)    wektory S = (l,-1,2), E = (0,4,-1), c = (2,2,3) są wspólplaszczyznowo;

b)    punkty P = (1,1,1), Q = (0,1,2), R = (-1,3,0), S = (5,0,-4) należą do

jednej płaszczyzny.

Rozwiązanie

a) W rozwiązaniu wykorzystamy taki mówiący, ze wektory 5, b, i są współplassczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy (3. b, c) = 0. Dla wektorów 1 es (1,-1,2), 5 = (0,4,-1),

2 = (2,3,3) mamy

1-1 2 0    4-1

2    2    3

Wektory 2, 5, c są zatem współpłaszczyznowe.

b) Punkty P,Q, R, S należą do jednej płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory PQ, PR, PS są współpłaszczyznowe. Dla punktów P = (1,1,1), Q = (0,1,2), R = (-1,3,0), 5 = (5,0, -4), mamy

P$= (-1.0.1), ?5*= (-2,2.-1), PSm (4,-1,-5).

obliczając iloczyn mieszany wektorów PQ, PR, PS otrzymamy

5.

Ponieważ ten iloczyn jest różny od zera, więc punkty P. Q, /}, g _{nic Bileią do} ^ .

płaszczyzny.

• Przykład 12.4

Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:

a)    płaszczyzna przechodzi przez punkt P - (0,1,-3) i jest prostopadła do wektora n = (—2,3, —5);

b)    płaszczyzna przechodzi przez punkty P\ = (1,1,1), P_a = (_i o, 1), P₃ = (5,6,7);

c)    płaszczyzna przechodzi przez punkty Pi = (0,1,0), /^łj = (3,0,0) i jest prostopadła do płaszczyzny zOy;

d)    płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0,1,0) i jest równoległa do wektorów o = (-1,3,0), K = (3,1,-5);

e)    płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (-1,4,1) i jest równoległa do płaszczyzny »i : * - y + 6* — 12 = 0;

f)    płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2,3, -6) i jest prostopadła do płaszczyzn x, : x + y + x -5 = 0, x₂ : z - y + 2 = 0;

g*) płaszczyzna jest dwusieczną kąta dwuścicnnego utworzonego przez płaszczyzny xj : x — y + z =0; ir₂ : 5* + y — z + 24 = 0.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy następujące fakty:

1.    Równanie płaszczyzny * przechodzącej przez punkt P₀ = (xo.yo.zo) o wektorze wodzącym ro i prostopadłej do wektora n = (/t, B,C) ma postać

* : (r- ro)o ii = 0. gdzie r = (*,y,ż).

Po przekształceniach równanie to przyjmuje postać

r: y4(*-xo) + fl(y-»»)+C(»-Xo)=0.

2.    Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P₀ = (*o,*. *») o wektorze wodzącym ro i równoległej do nicwspólliniowych wektorów i = (ti.fti.Ci), i = (sj.b.cj) ma postać

x: r= fo + ji + tp. gdzie ?«(x,f,r) oraz s,«€JŁ

Po rozpisaniu na współrzędne równanie to przyjmuje postać

{■ r»ro + «i^, + ^,i*'

y = Jft + 6,J + b«. gdzie 5,1 €JŁ

J a * zo + cis + cil,

n) Równanie ogólne płaszczyzny x rozważanej w zadaniu ma postać

* : (r - 0,y- 1.* + *) o(-2.3.-*) = °.

stąd

—2* + 3y - 5* -1* - 0.