4564

154 Geometria analityczna w przestrzeni

Ponieważ rozważany równołcgłoŚdaa jeet rozpięty na wektorach

AB= (0.-3.3). ADa (0.0,4). 4A'=(1.1.-1), więc jego objęto# można obliczyć sc wzoru

0	-3	3
0	0	4
1	1	-1

12.

\V\m\(ĄB_tAD_%AĆ)\*\

Me powierzchni całkowitej S wyraża aę wzorem S = 2(S*abcd + ^S9a33'a' ^{+ S}oaa'D'd)

= 2^| AB x AD | + | AB x AA' | +1 AA' x AD | |J

?; * 0-3 3	l + l	7 > « 0 -3 3	l + l	7 j i i i -i
0 0 4		1 1 -1		00 4

= 2(|- 12i| + |3y+ 3i| + |4»-4j|) = 2 (l2 + 3\/5 + 4^5) = 24 + 14 V2.

• Przykład 13.7

Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez parami przecinające się prosie: v; .* _ V _ *:    V    jr — 3 *—3    . x-3 y z + 3

'^,:T“TT ^/a ~ ⁼ "=r⁼“' ^,a:~⁼ó⁼“-

Rozwiązanie

Znajdziemy najpierw punkty przecięcia tych prostych. Niech A będzie punktem przecięcia prostych li i l>, B punktem przecięcia prostych fi i ł» oraz C punktem przedęaa prostych | lt i !»• Współrzędne punktów A, B, C spełniają odpowiednio układy równań:

£_»ai	(*ml-i	( t —3	_ V _
i i U	| i i r	J ^3	= — ■ 0
y-3 » _ z+3	\ *-3 y-3 z -3	1 Lii	y -
3 Ó -3 ’	[ 0 -3 " -6^:‘	l 0

S ■» 3, :j y-3,

■ z+3

L i ’

3    * — 3

. -6 Rozwiązaniami tych układów są odpowiednio trójki liczb:

{* = 0,    (    z-3,    (    * =3,

*•=0,    1    y-3,    |    y = 0,

z«=o,    {    z= 3,

= (3,3,3), C m (3,0,-3). Pole S trójkąt 5 = j|^xlc| Ą 11(3,3,3) X (3,0,-3)|

*”^3>l

Zatem A = (0,0,0), B = (3,3,3), C m (3,0,—3). Pole S trójkąta ABC można obliczyć ze wzoru

i) k 3 3 3 3 0-3

Trzynasty tydzień - zadania    ₁₅₅

Zadania

O Zadanie 13.1 Obliczyć odległość:

a)    punktu P = (1,-2,3) od płaszczyzny v:x + y-3z + 5 = 0;

b)    płaszczyzn równoległych x\ : 2x + y — 2* = 0,    : 2x + y - 2r - 3 = 0;

e) płaszczyzn *, : x - 2y + 2z + 5 = 0, *a : 3r - 6y + 6j - 3 = 0;

d)    punktu P = (0,1,-1) od prostej /: | = JL - i_;

e)    prostych równoległych /, :    l₇ . ±.₌ *Z± = 1~³.

f)    prostych skośnych /, : { * “ Jj’ h : {

. ...*-9    y-2 z « y + 7    z-2

g)    prostych/,.

{x = 2 + «, y = -3 + 2i, x = 2-l,

h) prostej /:

gdzie t € R, od płaszczyzny x: 2x + y + 4z = 0.

O Zadanie 13.2

Obliczyć miarę kąta między:

. . x-3    y-1 z+2 . ,

a)    prostą /: —p = —p * —i płaszczyzną w: z - z = 0;

b)    płaszczyznami t, : z - 2y + 3x - 5 = 0, x₂ : 2x + y - z + 3 = 0;

{**1-1,    ( x = 3— 21,

y = -2 +1, gdzie f € U, : < y = 4 -1, gdzie I € R

* = 3/,    | z s 1+31,

O Zadanie 13.3 Znaleźć rzut prostokątny:

a) punktu P = (-3,2,0) na płaszczyznę z: x + y + z = 0; b) punktu P = (-1,2,0) na prostą /: x = y = x;

c) prostej /: ~— = »— - = ** na płaszczyznę x : x + 3y- 2z - 6 = 0.

O Zadanie 13.4

Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = (2,3, — I) względem: a) punktu S = (1,—1,2):

{itrj;

c) płaszczyzny x : 2x-y + x- 6 = 0.

O Zadanie 13.5

Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora ? = (2,3,-1):