ODPOWIEDZI Macierze i geometria1

202

Rozdział 3. Macierze i wyznaczniki

1    3 5

2    4 6

1    3 5

2    4 6 1 3 5

; f) [35]

e)

3.3 a) X

3.4

c) X =

a) Aⁿ = c) Aⁿ =

-2 0 -2 0-8 0

1 0 1 0 2 0 1 0 1

1 n 0 1

: b) Y

Y =

JM,

1 0 -1 0 0 o -1 0 1

; b) .4"

cos na sin na — sin na cos na

:d)* =

0    o

1    1

Y =

A dla n nieparzystych 1 dla n parzystych

ch nx sh nx sh nx ch nx

; d) Aⁿ =

1 0

o o

l + (-l)ⁿ    0    l-(-l)ⁿ

0 2 0 . l-(-l)⁷¹    0    l+(-l)ⁿ

'ⁿ-¹ in(n-l)a"-²^

P) .4" =

e)Aⁿ = \

a na

0    a"    na

0    0    a

g*) Dla n ^ k macierz Aⁿ jest zerowa

_ J A dla n nieparzystych I dla n parzystych

dla n J 2;

3.5 a) X = d) X = f)X = %)X =

h)    X =

i) X = i) X =

0 1

1 o

1

-2

a 2 a 0 a

, gdzie a € C; c) X

, gdzie a, b € C; , gdzie a, 6 G C;

2ż — 2 3i + 1 3 — i —1 — i

; b) X =

1	a 6
(t> II	1 + a 6 — 1
	3 — a 2 — 6.

a b a + 36 —a — 36

'| 1—* M 1 1 _1	lub X =	[*¥]	lub X =
0 i		0 -i

-1

0

lub X =

-1 —i

~2~

i

lub X =

-1

0

-1 +i

0 0 a 0

a ia i _ i a ( 1 -1 0    3

L 6

lub X =	a 1	—ia i
	. a	a .

lub X =

-1 1 0 -3

, gdzie o £ C i 6 € C \ {0} ; , gdzie a 6 C \ {0};

3.6    a) Wskazówka. Wykorzystać tożsamości: (AB)C — A(DC), (AB)^T = B^tA' ; b) Wskazówka. Wykorzystać tożsamości:

(A + B)C = AC + BC, D(A + B) = DA + DB, (a + 0)A = aA + PA.

3.7    a) —1; b) sin(a — P)\ c) 1; d) —2.

Odpowiedzi i wskazówki

203

3.8 a) 2 (—1)¹⁺³

-2 i	3	+(-
-4	1 -i
?| + 5	•(-1)	2+2
-1	2	-3
1	3	-5
2	-2	4

(^—7) • (—1)²⁺⁴ 3.9 a) -289; b) 275; c) 123.

i 1 +i 1-2 i 3

\2+3

i 1 +i -4 1 -i

-(3-H)-(—1)³⁺³

-1	-3	4		-1	2	4
1	— 5	9	+ 3 ■ (-1)^2+3	1	3	9
2	4	6		2	-2	6

+

3.10* Wskazówka. Wzorować się na rozwiązaniu podanym w Przykładzie* 3.10.

3.11    a) x\ = 3, X2 — 2, X3 — 1; b) xi = 1, X2 = 2, 0:3 = 3.

3.12    a) 0; b) 1; c) -512.

3.13    a) Wskazówka. Od pierwszego wiersza odjąć drugi, od drugiego trzeci, ..., od przedostatniego ostatni. Wynik 4 ■ 3^n_1;

b)    Wskazówka. Od pierwszego wiersza odjąć drugi, od drugiego trzeci, ..., od przedostatniego ostatni. Wynik (— l)^n-1n;

c)    Wskazówka. Od kolejnych kolumn począwszy od ostatniej, a na drugiej kończąc odejmować kolumny poprzedzające pomnożone przez n. Rozwinąć otrzymany wyznacznik względem ostatniego wiersza obniżając o 1 jego stopień. Z kolejnych wierszy obniżonego wyznacznika wyłączyć wspólne czynniki. Kontynuować postępowanie aż do otrzymania wyznacznika stopnia 2. Wynik 2! • 3! ■... • (n — 1)!.

3.14 a) 50; b) -15; c) -13; d) 44; e) 12; f) -178. 3.15* a) -45; b) -11; c) -1060.

_5_

36

1

			• 7		1 ■
;b)	cos a sin a	; c)	^- 3 5	2 -1	^— 3 1
	— sin a cos a		3		3
			-2	1	1

3.16 a)

18

1

6

11    3

-24    -7

-1    2

0    0

;c)*=g

^d>*=32

-17    -9

11    19

	rl 2 2 -i		'-1 0 -1 1*
	9 9 9		_l_ł ii 2 2 2 —l i-ii 2 2 2
3.17 a)	2 1 2 9 9 9 2 2 1	; b)		; c)
	-9 9 9 -		2 0 1-1

22 -6 -26    17

-17    5    20 -13

-10 2-1 4-1-5    3

3.18 a) X =

; b) X =

3.19 a) det A = 2ⁿ, np. dla A = 2

b)    det .4 - 0 lub det A = 1 lub det .4 = —1, np. dla A -- O_n, A = I„ lub A - —I_n

dla n nieparzystych;

c)    detA = 2 lub det .4 = —2ⁿ, np. dla A = 2I_n lub A = [ay], gdzie ay = 0 dla i j ^{oraz flłl = — a}“ = 2 dla * = 2,3,... ,n, przy czym n e N jest liczbą parzystą.