ODPOWIEDZI Macierze i geometria

200

Rozdział 3. Macierze i wyznaczniki

gdzie A, B, C. D. E, F, G, H e R; A    B    Cx + D

^c)

+

Ex + F

+ 3 (_x + 3)² x² -4x + 5    (x² - 4x + 5)

r, gdzie A, B.C, D, E,F e R;

2.15* a)

; b)

.    1 — i —1 — i

C) ----: +

-1—i z — 1+ i z+l

2-16 a)-^+-^- + -4_J + -^-;b)

(z-1)²    (z+1)²’

^{1 + i} + ~\^+?:.;d)

2 + 1 + i

+

+

(z + 1 + i)² {z + 1 — i)² '

+ ■

x — 1 ' x — 2 ' a; — 3 ' a;—4’ ' x — 1 ‘ * + 1 ' x²' + 1 ’ -1 , x - 1 , _2aH-2_    1___2

^C 2 + 1 ⁺ x² + 1 ' (x² + l)² ’    x² + 2x + 2    (_x² + 2x + 2)²

1    *„42.1    4    2

x x² +

-r; f)---2 —7

1 X X²

x + 1    (x+l)²

Rozdział 3 (str. 83)

3.1 a) Położenie figur w grze w szachy zapiszemy w postaci macierzy o 8 wierszach i 8 kolumnach. Rzędy poziome i pionowe na szachownicy ponumerowane będą tak samo jak wiersze i kolumny macierzy. Jeżeli w i-tym wierszu i j-tej kolumnie szchownicy, gdzie 1 ^ i, j ^ 8,

1)    nie stoi figura ani pionek, to przyjmujemy, że op = 0;

2)    stoi biały (czarny) pionek, to przyjmujemy, że np = 1(—1);

3)    stoi biały (czarny) skoczek, to przyjmujemy, że cip- = 2(—2);

4)    stoi biały (czarny) goniec, to przyjmujemy, że ap = 3(—3);

5)    stoi biała (czarna) wieża, to przyjmujemy, że ap- = 4(—4);

6)    stoi biały (czarny) hetman, to przyjmujemy, że ap = 5(—5);

2) stoi biały (czarny) król, to przyjmujemy, że ap- = 6(—6).

Poniżej podajemy zapis w formie macierzy, położenia figur na szachownicy przed rozpoczęciem gry

-4	-2	-3	-5	-6	-3	-2	-4
-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1
4	2	3	5	6	3	2	4

b) Niech 1,2,..., 16 oznaczają numery stolic województw ustawionych w porządku alfabetycznym. Niech D oznacza macierz kwadratową stopnia 16 przedstawiającą odległości drogowe i kolejowe między tymi stolicami. Elementy macierzy D określone są wzorem

f    0    dla    i    =    j,

di, = <    odległość    drogowa między    miastami i oraz j    dla    i    < j,

{    odległość    kolejowa między    miastami i oraz j    dla    i    > j.

Odpowiedzi i wskazówki

201

Fragment!; takiej macierzy przedstawiono poniżej.

	1	2	3				16
1	0	402	381				629
2	465	0	174				261
3	441	160	0				410
16	628	291	451				0

Legenda:

Białystok,

Bydgoszcz,

Gdańsk,

1 -2

3    -

Zielona Góra.

c) Niech B = [ty] oznacza macierz o 768 wierszach i 1024 kolumnach opisującą kolorowy obraz na ekranie monitora. Jeżeli punkt ekranu stojący w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie

świeci kolorem białym, to przyjmujemy, że ty — 0, świeci kolorem niebieskim, to przyjmujemy, że bij = 1, świeci kolorem zielonym, to przyjmujemy, że ty = 2, świeci kolorem żółtym, to przyjmujemy, że bij = 3, świeci kolorem czerwonym, to przyjmujemy, że ty = 4,

nie świeci, to przyjmujemy, że ty = 20.

Elementy iy macierzy T przedstawiającej ćwiartkę tęczy opisane są wzorami:

1    dla    i    oraz    j spełniających warunek    200 ^    y/i²    + j²    <    250;

2    dla    i    oraz    j spełniających warunek    250 ^    y/i²    + j²    <    300:

3    dla    i    oraz    j spełniających warunek    300 ^    y/i²    + j²    <    350;

4    dla    i    oraz    j spełniających warunek    350 sj    y/i²    + j²    ^    400;

0 dla pozostałych i oraz j,

gdzie 1 5J 2    768 oraz 1 $ j ^ 1024.

d) 1)

										'0	1	0	1	1	0	0	0	0
										1	0	1	0	0	1	0	0	0
' 0	1	0	1	1'		rn 1	1	1 n		0	1	0	1	0	0	1	0	0
l	0	1	0	1		u 1 1 n	1 1	1		1	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	0	1	1	,2)	1 U 1 1	1 n	i 1	>3)	1	0	0	0	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1		1 1 1 1	u 1	1 n		0	1	0	0	1	0	1	0	0
_ 1	1	1	1	0		1 1	1	u		0	0	1	0	0	1	0	1	0
										0	0	0	1	1	0	1	0	1
										0	0	0	0	1	0	0	1	0

Element, ay w podanych powyżej macierzach jest równy 1, gdy węzły o numerach i oraz j są połączono prętem oraz 0, gdy nie są połączone.

3.2 a)

-1 9 7 0

;b)

0    3'

1    9

5 4

; c)

6    14

10 -19

; d)

cos(a -+• p) — sin (a- + (3) sin(a -ł- (3) cos(a + (3)