Macierze i wyznaczniki1

64 Macierze i wyznaczniki

gdzie symbol |/uj oznacza część całkowitą liczby u oraz 1 ^ i ^ 1024, 1 ^ i ^ 768. Niżej przedstawiono fragment macierzy opisującej na ekranie prostą y - oraz powiększony

fragment ekranu z tą prostą.

0	1	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	1	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	1	1	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	1	1

Działania na macierzach

• Przykład 3.2

Obliczyć:

a)	13 „21. -2 1J L° ^4J ^5			b) 3
	'3 -4 5"		‘3 29'
^c)	2 -3 1		2 18	; cl)
	3 -5 -1		0 -3

sina cos a — cos a sin a

1-1 1-1 -1 1 -1 1

10 1'		'3 1 0'
0 2 1		1 ^1 -1

sin p

- cosfi

COS p

sin P

0

e)

-1

2

-3

Rozwiązanie

a) Mamy

1 3'		’2l'		1 + 2-2 3 + 2-1		5 5
-2 1	+ 2	0 4	—	-2 + 2-0 1 + 2-4		-2 9

b) Mamy

O r ł CO		3-1-3 3-0-1 3 • 1 - 0 '		0-13'
1 1 -1		3-0-1 3-2—1 3-1 + 1		-1 5 4

c) Iloczyn macierzy A wymiaru m x n oraz macierzy B wymiaru k x l jest określony tylko wtedy, gdy n = k. Element iloczynu AB stojący w i-tym wierszu i j-kolumnie jest równy sumie iloczynów odpowiadających sobie elementów i-tego wiersza macierzy A i elementów j-tej kolumny macierzy B. Mamy

'3 -4 5'		’3 291		'3 -3 + (-4) -2 + 5-0 3-29 +(-4)-18 +5-(-3)
2 -3 1		2 18	=	2 • 3 + (-3) -2 + 1-0 2 • 29 + (-3) ■ 18 + 1 - (-3)
3 -5 -1		.0 -3.		3.3 + (-5) ■ 2 + (-1) -0 3 • 29 + (-5) • 18 + (-1) . (-3).

1 0 0 1 -1 0

d) Mamy

sina cos a		sin 0 cos 0
- cos a sin a		— cos 0 sin 0

sin a sin 0 — cos a cos 0 sin a cos 0 + cos a sin 0

-    cos a sin 0 — sin a cos 0 — cos a cos 0 + sin a sin 0

-    cos(a + 0) sin(a -f 0)

-    sin (a + 0) — cos(a + 0)

e) Mamy

r o-

-3

a) Rozwiązać równanie macierzowe 3

1 2 -i 0

+ X ) +

-1 0

i 4

= x.

1-0-1- (—1) • (—1) + 1 ■ 2 + (—1) • (—3)		6
(—1) ■ 0 + 1- (-!) + (-!)■ 2 + 1 -(-3)		-6

1 1

0 1 ’

1 0'

0 1 ■

X + Y

b) Rozwiązać układ równań macierzowych <

2Z + 37

Rozwiązanie

Dodawanie i odejmowanie macierzy oraz mnożenie macierzy przez liczbę mają te same własności jak zwykłe działania w zbiorze liczb rzeczywistych. W obu przykładach wykorzystamy te własności, a) Mamy

1 2

-i 0

+ X +

-1 0 i 4

= X

3 6 -3i 0

+ 3X +

3X -X = -

-1 0 i 4

3 6 —3 i 0

+

= X

-1 0

i 4

2X = —

X = --

2

2 6 -2 i 4

2 6 —2 i 4

X =

-1 -3

i -2

■■■■■HE

8B»—