10 (46)

197

Wyznaczniki

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie uporządkowane uklady(i₁,...,/„)(l < i, < n).Na mocy c) i d)

(88)    d_fl(®>j> —»®i„) ⁼ l(*i» ■"»> ®n)>

gdzie t = 0,1 lub — 1 i ponieważ [B] [/] = [B], więc z (85) wynika, że

(89)    d_B(e,,... e„) = det[B].

Podstawiając (89) i (88) do (87), otrzymamy

det([B] [A]) = (Xfl(ii. l)a(<2»    «)t(*i*-■, i«)}det[B]

dla wszystkich macierz [A] i [B] o n wierszach i n kolumnach. Przyjmując B = /, widzimy, że suma w nawiasie klamrowym jest równa det [A], Twierdzenie zostało dowiedzione.

9.36.    TWIERDZENIE. Operator liniowy A na R" jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy det [>4] # 0.

Dowód. Jeżeli A jest odwracalny, to z twierdzenia 9.35 wynika, że det [A] det [A^-1] = det [/IX"¹] = det [7] = 1,

a więc det [A] ^ 0.

Jeśli A nie jest odwracalny, to kolumny x_t,..., x„ macierzy [/4] stanowią układ wektorów liniowo zależny. Zatem jeden z tych wektorów, powiedzmy' x_k, jest taki, że

(90)    x*+ £ CjXj = 0

i*k

dla pewnych liczb ty Na mocy 9.34 b) i d) x* może być zastąpiony x_k+c_Jx_J bez zmiany wartości wyznacznika, jeśli tylko j # k. Wynika stąd, że x* może być zastąpiony lewą stroną równości (90), tj. 0, bez zmiany wartości wyznacznika. Ale macierz, w której jedna z kolumn jest wektorem zerowym, ma wyznacznik równy 0. Zatem det [A] = 0.

9.37.    UWAGA. Załóżmy, że {e„..., e,,} i {u,,..., u,} są dwiema bazami w przestrzeni R". Każdy operator liniowy A na R" określa macierze [A] i [/!](, o elementach atj i 0L_iJt dane wzorami:

Aej = '£^a/J^eb, Auj = I«,u,

i    f

Jeśli u, = Bij —    to Auj jest równe

Z*kjB*k =

*    kl    ii

a także wektorowi

ABej = AYtKjtk = Z(Z^a<A,k-