0362

363

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie możliwe grupy nieujemnych liczb całkowitych a,, a₂, ..., ac„, spełniających warunek + a₂ +... + a„=k, a

kl

a,!a₂

Przy założeniu, że istnieją pochodne ciągłe rzędu k+1, zróżniczkujemy poprzednią równość. Otrzymamy

d^{k + i}u=YC,

+-

8^k+1

u

«.«•••«» ^Sx\' ^{+ 1}dxl\..8x^ u

8^k+l

dx\^{i + l}dx*₂\..dxl"+

dx\‘dx*₂¹⁺¹...dx?+... + ,

n dx\'dx%\..dxY

\

8x\'8x^a2¹⁺¹...8x*_n''~~^l"~^:L    .....8x$'dx*₂\..8x'_n"⁺¹

Moglibyśmy to samo otrzymać oczywiście formalnie, mnożąc symbolicznie wyrażenie

d^k

przez

I C..*-,

{Ł“^x'

' 8x\^l8x'₂...dx^a”

dx^atdx₂²...dx^an

d    8

+ — dx₂ +... + — dx,

vX ₍

■)

i dopisując u. Ten formalny iloczyn nie jest jednak niczym innym, jak

(-

dxj ■—dx₂ + ...+ 0X2

8 \\	( ^d	8	8
— dx„)	—	dx,+——	dx2 +
dxn 7 '	l^Xi	^1 3x2	5x„
		( ^s	8 3
		=( —	dx, H--dx2
		\dxi	^1 dx2

8

8x

)k+ 1

>

a więc

cbdo.

...    ( 8    8    8    Y⁺¹

« = [ ź~dx₁ + -~dx₂ + ... + ~dx„) u,

Z poprzednich rozumowań widzimy, że różniczka rzędu k jest wielomianem jednorodnym stopnia k, albo jak się zwykle mówi, jest formą stopnia k względem różniczek zmiennych niezależnych, której współczynnikami są pochodne cząstkowe rzędu k pomnożone przez stałe współczynniki całkowite C_xlXl..._Xn.

Jeśli na przykład w=/(x, y), to

,, d²u ,    8²u    8²u    ,

^du'i?^{dx +}2srt,^dxdy+e? ” ’

,3 d³u , d³u du=—^dx+ 3—^— 8x³    dx²dy

,    8³u    , d³u ,

>^^dy⁺³i^^dxd> ⁺^^d> ■

₄    8*u    4    8*u    ,    6*u    .    . 8fu , 8*u    .

du=-_Tdx +4—3— dx³dy+6—_T-jdx dy² + 4 —_sdxdy +—4 dy , 8x    8x 8y    8x 8v    8x8y    8y