0356

357

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

która na mocy 2) ma w przedziale <x₀, x₀ + h) pochodną

,, , fx(x,y₀ + k)-fś(x,y₀) <P(x) =-:-

i jest zatem ciągła. Wyrażenie W równe

(2)

i rf(x₀ + h, y₀ + k)-f(x₀ + h,y₀)

h L    k

f(x₀,y₀ + k)-f(x₀,y₀) k

}

można za pomocą tej funkcji napisać w postaci

W =

<p{x₀ + h)- <p(x₀)

h

Ponieważ dla funkcji <p(x) w przedziale (x₀, x_Q+h) spełnione są wszystkie założenia twierdzenia Lagrange’a [112], możemy przekształcić wyrażenie W według wzoru Lagrange’a w sposób następujący:

W = <p'(x o + 9h) =

fx(xo + Oh, y₀ + k)-/*'(x₀ + Oh, y₀) h

(O<0<1).

Korzystając z istnienia drugiej pochodnej /_X"(x, y) zastosujemy wzór Lagrange’a, tym razem do funkcji fź(x₀ + 6h, y) zmiennej y w przedziale (,y₀,yo+k}- Ostatecznie otrzymamy

(3)    W=f£x₀+8h,y₀ + d₁k) (fi<0,0_l<l).

Jednakże w wyrażeniu W zmienne x i y są równoprawne i tak samo hi k. Wobec tego można zamienić ich role w każdej parze i, wprowadzając funkcję pomocniczą

f(x₀ + h, y)-f(x₀, y)

W(y)=-j;->

za pomocą analogicznych rozumowań otrzymać

(4)    W=f^(x₀ + O₂h,y₀ + O₃k) (0<0₂,0₃<l).

Z zestawienia zależności (3) i (4) otrzymujemy

/”Oo + 0h,y_o + 0₁ k) =/"(x₀ + 0₂h, y_o + 0₃k).

Przejdźmy w tej równości do granicy przy h i k dążących do zera. Wobec tego, że czynniki 0, 6_lt 0₂, 0₃ są ograniczone, argumenty z prawej i lewej strony dążą odpowiednio do x₀, y₀- Wówczas na mocy (3) otrzymamy ostatecznie

fźy(xo, Jo) =fix(xo, J>₀) .    cbdo.

Tak więc ciągłe pochodne mieszane /*" i są zawsze równe.