0212

213

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

bezpośrednio wzór (7), przy czym

*0 <(n-1    i +Ax <X₀ + tlAx .

Zwracamy uwagę, że jeśli pochodna f^l"\x) istnieje również w punkcie x₀ i jest przy tym ciągła w tym punkcie, to z zależności (7) wynika przy Ax-+0 (wówczas i„-*x₀), że

. .    ^{n). .    A y*(Xo)

(9)    f^w(x₀)= hm - „ ■

dx->o Ax

Poza tym ciekawy ten wzór, stwierdzający możliwość otrzymania pochodnej rzędu n za pomocą jednego tylko przejścia granicznego, jest słuszny przy jedynym założeniu, że pochodna ta istnieje właśnie w punkcie x₀. Oznacza to, że w pewnym otoczeniu punktu x₀ istnieją pochodne

f'(x),r(x), ...,f^ln-¹\x),

a więc przy dostatecznie małym Ax można zastosować wzór (8). Wskutek istnienia pochodnej /<"> (x₀) korzystając ze wzoru (2) z ustępu 96 możemy napisać

gdzie a i fi zależą od Ax i dążą wraz z nim do zera. Stąd i z (8) wynika (*)> że

A"f(.x<,)=[fⁿXx₀) + y]Azⁿ,

gdzie y jest nową nieskończenie małą. Dzieląc wreszcie obie strony tej równości przez Ax" i przechodząc do granicy przy Ax->0 dojdziemy do wzoru (9).

Podkreślamy, że jest on prawdziwy tylko przy założeniu, że istnieje pochodna /^<“⁾ (x₀) (²), bowiem może się zdarzyć, że istnieje granica po prawej stronie wzoru (9), natomiast nie istnieje pochodna po lewej stronie. Rozpatrzmy na przykład funkcję określoną w sposób następujący:

/(x)=jt³sin— (x*0),    /(0)=0

x

biorąc x_o = 0. Funkcja ta ma pierwszą pochodną

f'(x)=’3x² sin--x cos—    (x#0),    /'(0)=0,

X    X

ale nie ma w punkcie O drugiej pochodnej, bowiem stosunek f'(QĄ-Ax) —/'(O)

, 1    1

3Ax su--Jjccos —

Ax    Ax

Ax

Ax

=3Jjcsin

1    1

--cos-

A x    Ax

przy Ax-*0 nie ma granicy. Tymczasem

A²f(.0)_f(0+2Ax)-2f(0+Ax)+f(0) Ax²    Ax²

„ ₃ 1 ₃ 1

8Ax sin--2Ax sin —

2Ax    A x

aP

—8Ax sin •

2Ax

-2zlxsin-->0.

Ax

(‘) Biorąc pod uwagę, że ()<£„_!—x₀<(n—l)Ax (dla Ax>0).

(²) A zatem wzór (9) nie daje bynajmniej nowej definicji samego pojęcia pochodnej rzędu «, rów noważnej ze starą definicją!