0202

203

§ 4. Pochodne > różniczki wyższych rzędów

tak samo łatwo znajdujemy

y ^w=n (p -1)...(//- n +1) b\a + bxf~ⁿ.

W szczególności otrzymujemy jak i wyżej

/ 1 \^w (-1 fn\bⁿ \a + bx) ~(a + bx)ⁿ⁺¹’

(    ¹    \^<B)_ (—1)"(2/j — 1)!! 6"

\V a + bx)    2"(a + bx)ⁿ -Ja + bx

3)    Niech teraz y=lnx. Mamy przede wszystkim

y'=(lnx)'=— • x

Znajdziemy stąd pochodną rzędu n— 1, stosując wzór z 1) i zastępując w nim n przez n—1; otrzymamy wtedy

4)    Jeśli y=a^t, to

y' = a^xlna,    y" = a*(lna)²,

Wzór ogólny

y^w=a* (Ina)"

można łatwo udowodnić stosując metodę indukcji matematycznej.

W szczególności jest oczywiście

(e*)^w = e*.

5)    Niech y=sin x, wtedy

y'=cosx, y"—— sinx,    y"'=—cosx,    y⁽⁴⁾ = sinx,    y⁽⁵⁾=cosx,

Postępując w ten sposób trudno jest znaleźć żądane wyrażenie dla pochodnej rzędu n. Sprawa jednak upraszcza się od razu, jeśli napisać wzór na pierwszą pochodną w postaci y'=sin Oc+in); staje się jasne, że przy każdym różniczkowaniu dodaje się do argumentu tak że

(sin x)⁽ⁿ⁾=sin (x + n • ^jt).

W podobny sposób otrzymujemy wzór

(cos x)^M=cos (x + n • \%).

6)    Rozpatrzmy funkcję y = —r—,. Napiszmy ją w postaci

x²—a²

2a\x—a x+a/’