0206

207

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

2) Powracając do przykładu 7) z ustępu 116 możemy teraz otrzymać wyrażenie na pochodną rzędu n funkcji

y—e°^xs\abx

bezpośrednio ze wzoru Leibniza

^,y=e^QX j^sin bx ----~a''~²b² + ...J+cosbx ^na" ¹b —

«(»i —1)(«—2)

1-2-3    ‘

³ó³ + ...)j,

3) Znajdziemy pochodną rzędu n+1 funkcji y=arc sin x. Mamy przede wszystkim

/■=-

1 1 1

y/l— X^ł \/l+X yjl—x

stąd według wzoru Leibniza

*(«—1)/ 1 V"²V ¹ Y' «(«-D(»-2)/ 1 Y'-³7 1 V" i-2 yrrJ yra 1-2-3 lyrrJ    ⁺-

1    1

\! 1 Ą~X    yj 1 -

Jeśli zastosujemy teraz do obliczenia kolejnych pochodnych funkcji    oraz _j wzory

otrzymane w ustępie 116, 2), to otrzymamy wynik

y =-

1    f(2n-l)!l    (2n-3)!!l!!

—n-

n(n — 1) (2/j —

<!+*>■    "(l+*)"¹(l-*)⁺ 1-2 '(1+*)'

5)1131!    _    )

r^a(i-*)^>+-J'

4) Trzeba znaleźć wartości dla x=0 wszystkich kolejnych pochodnych funkcji y=arc tg x. Ponieważ /= 1/(1 +x²), przeto y'(l +*²) = 1. Obliczymy pochodną rzędu n obu stron tej równości korzystając ze wzoru Leibniza

(l+xV"⁺¹⁾+2i«y"^>+n(«-l)/"^_1)=0.

Podstawiamy tu x=0; jeśli wartości pochodnych w punkcie x=0 będziemy oznaczali wskaźnikiem 0 na dole, to otrzymamy

yo^+l)

-«(«-l)y^<o"^>.

Dla x=0 pochodna y"= — 2x1(1 +x²)² jest zerem, y'ó=0. Z otrzymanej zależności wynika, że yo^m) = 0. Dla pochodnych rzędu nieparzystego mamy wzór rekurencyjny

^²"⁺” = _(2m-1) 2my^l0^2m~^x\

Biorąc pod uwagę, że y'₀=l, otrzymujemy stąd

^²”⁺¹>=(-l)”(2m)l.

Ten sam wynik można było otrzymać ze wzoru ogólnego z przykładu 8) ustępu 116.

5) To samo — dla funkcji y=arc sin x.

Wskazówka. Zastosować wzór Leibniza do zależności

(l-x²)y"-xy'=0.

Odpowiedź: yó^2m)=0, yó^2m_1>=l²-3²-...-(2/n—l)²=[(2m—l)!!]². Wynik ten nie da się otrzymać w tak prosty sposób, jeśli posłużymy się wzorami ogólnymi z 3).