0208

209

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

119. Różniczki wyższych rzędów. Zajmiemy się obecnie różniczkami wyższych rzędów; definiujemy je również indukcyjnie. Różniczką drugiego rzędu lub drugą różniczką funkcji y =f(x) w pewnym punkcie nazywa się różniczka w tym punkcie pierwszej różniczki tej funkcji

d²y=d(dy).

Różniczką trzeciego rzędu lub trzecią różniczką nazywa się różniczka drugiej różniczki

d³y = d(d²y).

Ogólnie, różniczką rzędu n lub n-tą różniczką funkcji y=f(x) nazywa się różniczka różniczki rzędu n — 1 tej funkcji

dⁿy = d(dⁿ-¹y).

Jeśli używać oznaczeń funkcyjnych, to kolejne różniczki można napisać w sposób następujący:

d²f(x o),    d³f(x₀),    ....    d"/(x₀),

co pozwala wskazać wartość szczególną x=x₀, dla której obliczamy różniczkę.

Przy obliczaniu różniczek wyższych rzędów jest rzeczą ważną pamiętać, że dx jest liczbą dowolną, niezależną od x, którą przy różniczkowaniu względem zmiennej x należy rozpatrywać jako czynnik stały. Otrzymujemy wobec tego (zakładamy cały czas istnienie odpowiednich pochodnych)

d²y=d (dy) = d (y'dx)=dy'dx=(y"dx) dx = y"dx²,

d³y = d (d²y) = d {y"dx²) = dy"dx² = (y'"dx) dx² = y"'dx³(¹')

itd. Łatwe do odgadnięcia ogólne prawo

(2)    dⁿy=yⁱⁿ⁾dxⁿ

dowodzi się metodą indukcji matematycznej. Ze wzoru (2) wynika, że

dxⁿ

tak że odtąd symbol ten można rozpatrywać jako ułamek.

Korzystając ze wzoru (2) możemy łatwo przekształcić wzór Leibniza do postaci zawierającej różniczki. Wystarczy pomnożyć obie jego strony przez dxⁿ, żeby otrzymać

cT(uv)= £ dⁿ~‘ud'v (d°u = u, d°v = v).

i = 0

Sam Leibniz wyprowadził swój wzór właśnie dla różniczek.

(') Przez dx², dx³, .... itp. rozumiemy zawsze potęgi różniczki, tzn. (dx)², (rfx)³, ... Różniczkę potęgi będziemy oznaczali przez d(x²), d{x²), ...

14 G. M. Fichtenholz