0358

359

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

191. Uogólnienie. Przejdziemy wreszcie do dowodu ogólnego twierdzenia o pochodnych mieszanych.

Twierdzenie. Niech funkcja n zmiennych u=f(x₁,x₂, ..., x_n) będzie określona w n-wy-miarowym obszarze otwartym 3 i niech ma ona w tym obszarze wszelkie możliwe pochodne cząstkowe do rzędu k — 1 włącznie oraz pochodne mieszane rzędu k, przy czym wszystkie te pochodne są ciągłe w <3.

Przy tych założeniach wartość dowolnej pochodnej mieszanej rzędu k nie zależy od porządku, w którym wykonujemy kolejne różniczkowania.

Dowód. Dla k=2 twierdzenie jest już udowodnione, a więc na przykład

d²u d²u 8XidXj dx_jdx_i

Rzeczywiście, aby sprowadzić ten wypadek do poprzedniego twierdzenia wystarczy zauważyć, że przy obliczeniu tych pochodnych można wszystkim pozostałym zmiennym (oprócz Xi i xj) nadać wartości stałe, przy czym wymienione pochodne, ciągłe względem całego zespołu zmiennych, są też ciągłe względem zmiennych x_i i Xj przy ustalonych pozostałych zmiennych. Niech teraz będzie k>2.

Udowodnimy najpierw twierdzenie w tym wypadku, gdy przy obliczeniu pochodnej rzędu k dokonano przestawienia tylko między dwoma kolejnymi różniczkowaniami, tzn. udowodnimy słuszność równości

d^ku    8^ku

(7)-------

8x_h8x_h...8x_ih8x_iktl...8x_ik 8x_hdx,₂...dx_lh+l8x_ih..,8x_ik

(Tutaj ii, i₂,    4+1, ..., 4 jest pewnym układem k spośród n wskaźników 1,2, ...

...,n z ewentualnymi powtórzeniami).

Wykonując kolejno różniczkowania potrzebne do obliczenia tych pochodnych widzimy, że pochodne rzędu h — 1 są w obu wypadkach jednakowe. Stosując do nich twierdzenie udowodnione już dla k=2 otrzymamy, że pochodne rzędu h +1 są równe. Dalej trzeba wykonać w obu wypadkach jednakowe operacje, które doprowadzą do jednakowych wyników.

Tak więc równość (7) jest rzeczywiście słuszna i twierdzenie jest w tym wypadku udowodnione. Ponieważ jednak każda permutacja elementów może być zrealizowana przez kolejne przestawiania elementów sąsiednich, twierdzenie jest więc udowodnione również w wypadku ogólnym. Jeśli spełniony jest warunek ciągłości odpowiednich pochodnych, można zawsze przestawiać między sobą różniczkowanie względem różnych zmiennych.

W dalszym ciągu będziemy zawsze zakładali ciągłość pochodnych, porządek kolejnych różniczkowań będzie więc dla nas obojętny. Daje to nam na przyszłość prawo przy oznaczaniu pochodnej mieszanej zbierać razem różniczkowanie względem jednej i tej samej zmiennej. Jeśli u jest funkcją zmiennych x_x, x₂, ..., x_n, to będziemy pisali taką pochodną w postaci

8^ku

8x\'dx'₂-■■■8x\

<Xn ⁹