0354

355

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

Przykład 3. Dla funkcji u=

_yjx^I + y² + z-

= {x¹+y²+z¹Y^ia

mamy kolejno

'^=-x(x²+y²+z²r¹¹² ,    ?-“ = 3)c²(x² +y² +Z¹)"*'² -(x² +y² + z²)-^3/'² ;

8x    8x

d² u 8²u

analogiczne wyrażenia otrzymamy również dla —-r, —= •

3y 8z

Dodając te pochodne przekonamy się, że funkcja u spełnia równanie

d² u d²u B²u

3?⁺3? ⁺ ^⁼°‘

Przykład 4. Niech y=f(x+at) + ę(x—at), gdzie 0=const, zaś/(a), ę(u) są dowolnymi funkcja-

d²y    d²y

mi mającymi pierwszą i drugą pochodną. Wykazać, że y spełnia równanie —- = a² —-, dla dowolnych

dt²    8x^z

funkcji /1 (f.

Korzystając z reguły różniczkowania funkcji złożonej znajdujemy (*):

~z~ =/'(* + at) + ę'(x - at),    ~ =f"(x + at) -f ę"(x -at),

8x    3x

8y

~3t

8² y

=J'(x + at)a + q>'(x — at)( — a),

2    2    2 O

₂ =f"(x+at)a + q>"(x — at)(—a) —a —-j,    cbdo.

dt    8x

Przykład 5. Udowodnić, że wyrażenie

z=

gdzie ę i ifi oznaczają dowolne funkcje (mające pierwszą i drugą pochodną), spełnia równani;

~2    ~2 _a2

- 0 Z    d z    , o Z

^x -3?^+2Xy8l8y^+y W

=0.

Mamy

dz

dx

dz

dy

7)'

8 z y 8x² x

dy

Mnożąc ostatnie trzy pochodne odpowiednio przez x², 2xy, y² i dodając je otrzymamy rzeczywiście 0.

(^l) Primy w oznaczeniach f, <p\ ... bez wskaźników dolnych oznaczają pochodne względem argumentu u funkcji /(«), <p(u).