0366

367

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

itd. Dla różniczki rzędu n +1 będziemy wreszcie mieli

d”⁺¹F(d) = dⁿ⁺¹f(x₀ + OAx, y_o + 0Ay).

Ważne jest zwrócić uwagę na to, że różniczki dx i dy nie różnią się tu niczym od wziętych przedtem przyrostów Ax i Ay. Rzeczywiście

dx = Axdt = Ax,    dy = Aydt = Ay .

Podstawiając to wszystko do rozwinięcia (11) otrzymamy żądane rozwinięcie (9).

Czytelnik powinien sam zdać sobie sprawę z tego, że chociaż w formie różniczkowej wzór Taylora ma w przypadku funkcji wielu zmiennych równie prostą postać, jak i w wypadku funkcji jednej zmiennej, ale w postaci rozwiniętej jest on jednak o wiele bardziej skomplikowany. Tak na przykład wyglądają trzy pierwsze jego składniki nawet dla funkcji dwóch tylko zmiennych:

f(x₀+Ax, y₀+Ay)-f(x₀, y₀) = [/*'(*o, ^o)+/,'(*o, yo)^Ay] +

y₀)^Ax²+2f”(x₀, y₀)AxAy+f_yi(x₀, y₀)Ay²] +

+ j^ifx3(x₀, y₀)Ax³ + 3f^'_y(x₀, y₀)Ax²Ay + 3f^(x₀, y₀)AxAy² +

+fyŚ (^0 > y₀)^>^;3] + -

Wzór (9) zachodzi również dla n=0; ten przypadek szczególny rozpatrywaliśmy już w ustępie 183.

§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze

196. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne. Niech funkcja

u=f(x_l,x₁, ...,x„)

będzie określona w obszarze 2 i niech (x⁰i, x₂,    x°) będzie punktem wewnętrznym tego

obszaru. Będziemy mówili, że funkcja f(x_t, x₂, ..., x„) ma w punkcie (x?, x₂, ..., x°_n) maksimum (minimum), jeżeli można wyznaczyć takie otoczenie tego punktu

(x°₁-5, x° + <5; x°₂-d, x° + <5 ; ...; x°-S, x° + S) ,

że dla wszystkich punktów tego otoczenia spełniona jest nierówność

f(x_t, x₂, ..., x_n) < f(x° ,x°₂.....x°).

O)

Jeżeli otoczenie to można dobrać tak, żeby wyłączyć przypadek równości, tzn. żeby w każdym punkcie otoczenia z wyjątkiem punktu (x°, x₂, ..., x°) spełniona była nierów-