0360

361

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

W rezultacie otrzymamy oczywiście dla rozpatrywanej pochodnej rzędu k właśnie wyrażenie żądanego kształtu, co dowodzi słuszności twierdzenia.

Ciągłość pochodnych funkcji złożonej F wynika z samego sposobu ich utworzenia z pochodnych funkcji fi <p_t, gdyż te ostatnie są ciągłe.

193. Różniczki wyższych rzędów. Niech w obszarze 3> będzie określona pewna funkcja

u=f(x_t, x₂, ..., x„) mająca ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego. Wówczas, jak

wiemy, różniczką zupełną du nazywa się wyrażenie

du    du    du

du= ^—dx₁-\---dx₂ + ■■■ + -— dx„,

ox_t    dx₂    dx„

gdzie dx₁, dx₂, ..., dx_n są dowolnymi przyrostami zmiennych niezależnych x_l, x₂, ..., x„.

Widzimy, że du jest również pewną funkcją zmiennych x_r,x₂, ...,x„. Jeśli założyć istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji u, to du będzie miało ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i możemy mówić o różniczce zupełnej d(du) różniczki du, którą nazywamy różniczką rzędu drugiego (albo drugą różniczką) funkcji u. Oznaczamy ją symbolem d²u.

Należy podkreślić, że przyrosty dx_t, dx₂,    dx_n rozpatrujemy przy tym jako stałe

i że pozostają one takie same przy przejściu od jednej różniczki do następnej.

Tak więc, jeśli skorzystamy z reguł różniczkowania z ustępu 185, otrzymujemy

,    (du    du    du \

d u = d (du) = d I dx_t 4---dx₂ +... H--dx_n I =

\ó*i dx₂    dx„ )

=“(£) ^dx'^+d(r“~) ^iXi+-^+d{^)^dx•

lub rozwijając wyrażenia d ( — ) '•

du

, (d²u    8^zu    d²u

(i «= —_T dx,+~-dx₂ +... -I---— dx„ a*! +

\dx^ 8x ₁dx₂ ² dx₁dx„ ¹

+

8²u

8²u

,    , dx₁ + -_Tdx₂ + ...+

dx₂cx_i dx₂

8²u

8x₂ dx„

dx„ I dx₂ +... +

+

8²u

8x_n8x_l

dx i -f^-

8²u dx„8x-

8²u

dx₂ + ...+—₂ dx„)dx„ =

-\2

O u

,    2    d²U

2 dx_t+—₂ dx₂ + ... + —2

dx„ +

8²u    8²u

+ 2 -—_;— dx_tdx₂ + 2 -—^— dx_tdx₃ + ...+

8x_l8x₂

dx₃8x₃

8²u    8²u

+ 2 ——i— dx 2 dx 3 -h... "h 2 ~--— dx_n _ j dx_n .

8x₂8x₃

8x_n_₁8x„