0364

365

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

Widzimy, że różniczka rzędu wyższego niż pierwszy nie zachowuje na ogół swej postaci. Rozpatrzmy teraz przypadek szczególny, gdy x_lt x₂, x„ są funkcjami liniowymi zmiennych    tzn. gdy

x_i=a!iⁱ⁾t₁+a.^li²⁾t₂ + ...+<x.\^m)t_m+p_i (i = 1,2, .

gdzie aj^j) i /?, są stałe.

W tym wypadku będziemy mieli

dx_i=a.\ⁱ⁾dt₁ + ...+<x⁽y⁾dt_m=<x\¹⁾At₁ + ... + a\^m)/it_m=Jx_l.

Widzimy, że wszystkie pierwsze różniczki funkcji x_t, x₂, ..., x„ są w tym wypadku stałe, nie zależą od 11, t₂, ..., t_m; a więc można zastosować bez zmiany rachunki z ustępu 193. Wynika stąd, że w wypadku zamiany zmiennych niezależnych x_t, x₂,..., x„ na funkcje liniowe nowych zmiennych t_x, t₂,t_m mogą być zachowane poprzednie wyrażenia nawet dla różniczek wyższych rzędów. W nich różniczki dxi, dx₂, ..., dx_n pokrywają się z przyrostami Axi, Ax₂, ..., Ax„, ale przyrosty te nie są dowolne, lecz są wyznaczone przez przyrosty At_lf At₂, ..., At_m.

Tę prostą i ważną uwagę (którą zawdzięczamy Cauchy’emu) wykorzystamy bezpośrednio w następnym ustępie.

195. Wzór Taylora. Wiemy już [126 (13)], że funkcja F(t) może być rozwinięta według wzoru Taylora

F(ł) = F(t₀) + F'(t₀)(t -1₀) + iyF"(t₀)(t- to)² + ...+

+ \^Xto)(t-t₀T + ~^^^n+l\to + 9(t-to))(t-tor⁺¹    (O<0< 1)

n!    (n + lj!

z resztą w postaci Lagrange’a pod warunkiem, że istnieje pierwszych n + 1 kolejnych pochodnych tej funkcji. Przyjmując

t — t₀ = At=dt,    F(t)-F(t₀)=AF(t₀)

można ten wzór przepisać w postaci

AF(t₀) = dF(t₀) + ~d²F(t₀) +.• • + ^-d*F(t₀) +    d”⁺¹F(t₀ + 6At)    (0<6< 1).

2!    n!    (n + 1)!

Jest rzeczą ważną podkreślić przy tym, że wielkość dt, występująca w różnych potęgach w wyrażeniach na różniczki po prawej stronie, równa się dokładnie temu przyrostowi At, który występuje w przyroście funkcji po lewej stronie.

W tej ostatniej właśnie postaci wzór Taylora przenosi się również na przypadek funkcji wielu zmiennych.

Dla uproszczenia ograniczymy się do funkcji / (x, y) dwóch zmiennych.

Załóżmy, że w otoczeniu określonego punktu (jc₀, y₀) funkcja ta ma ciągłe pochodne wszystkich rzędów do n+1 włącznie. Nadajmy x₀ i y₀ pewne przyrosty Ax\ Ay tak, aby