0182

183

§ 2. Różniczka

Ay—Aifx jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż Ax, tzn. że (1)    Ay = AAx + o(Ax).

Jeśli dla d#0 zachodzi równość (1), to oznacza to, że nieskończenie mała AAx jest równoważna z nieskończenie małą Ay, a więc jest częścią główną tej ostatniej, jeśli przyjmiemy Ax za nieskończenie małą podstawową [62, 63].

Jeśli równość (1) jest spełniona, to funkcja y=f(x) nazywa się róźniczkowalna (dla danej wartości x=x₀), samo wyrażenie AAx nazywa się różniczką funkcji i oznacza się je symbolem dy lub df{x

(W ostatnim wyrażeniu w nawiasach zapisana jest wartość wyjściowa zmiennej x(¹)).

Powtarzamy raz jeszcze, że różniczka funkcji charakteryzuje się dwiema własnościami: (a) jest ona funkcją liniową jednorodną przyrostu Ax argumentu i (b) różni się od przyrostu funkcji o wielkość, która przy Ax-¹0 jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż Ax.

Rozpatrzmy przykłady.

1)    Pole Q koła o promieniu r wyraża się wzorem Q—nr². Jeśli promień r zwiększymy o dr, to odpowiedni przyrost AQ wielkości Q będzie polem pierścienia kołowego, zawartego między współśrodkowymi okręgami o promieniach r oraz r+Ar. Z wyrażenia

AQ=n (r+A r)² - nr²=2nr A r+K (A r)²

widzimy od razu, że częścią główną AQ przy Ar-¹0 jest 2urAr; jest to właśnie różniczka dQ. Geometrycznie wyraża ona pole prostokąta (otrzymanego jak gdyby przez „wyprostowanie” pierścienia) o podstawie równej obwodowi koła 2nr i wysokości Ar.

2)    Analogicznie dla objętości V—^nr³ kuli o promieniu r, przy zwiększeniu promienia o dr, otrzymamy przyrost

d V = f7t(r+dr)³ — $ nr³ = 4itr²d r + 4itr(d r)² + $ n(A r)³,

jego częścią główną przy dr->0 będzie oczywiście dV—4nr²-Ar. Jest to objętość płaskiej warstwy o podstawie równej powierzchni kuli 4nr² i o wysokości Ar; warstwa ta jest jak gdyby wynikiem „spłaszczenia” warstwy zawartej między dwiema współśrodkowymi sferami o promieniach r oraz r+Ar.

3)    Rozpatrzmy wreszcie punkt materialny spadający swobodnie według prawa s— =igi². W czasie At, który upłynie od chwili t do chwili t+At punkt ruchomy przejdzie drogę

As = $g(t+At)²-łgt²=gtAt + łg(At)².

Przy At->0 częścią główną drogi jest ds=gtAt. Jeśli przypomnimy sobie, że prędkość w chwili t jest równa v=gt [90], to zobaczymy, że różniczka drogi (która w przybliżeniu zastępuje przyrost drogi) może być obliczona jako droga, którą przebyłby punkt poruszający się w ciągu całego okresu At z tą właśnie prędkością.

1

Tutaj df jako symbol jednolity spełnia rolę oznaczenia funkcyjnego.