0191

193

§ 3. Obliczanie wielkości mechanicznych i fizycznych

od AQ o nieskończenie małą rzędu wyższego niż Ax. Innymi słowy wydzielamy część główną nieskończenie małego (przy Ax -* 0) elementu A Q. Oczywiście błąd względny równości przybliżonej

(1)    AQ « q (x) Ax dąży do zera wraz z Ax.

Tak na przykład element luku >^A/A#j w przykładzie 1) można zastąpić odcinkiem stycznej, a więc częścią liniową wydzieloną z AS jest

/l +y'_x¹ Ax = /1 + U\x)Y Ax.

W przykładzie 2) jest rzeczą naturalną zastąpienie elementarnego paska AP wpisanym weń prostokątem o polu

y Ax = /(x) Ax .

Wreszcie w przykładzie 3) z elementarnej warstwy A V wydziela się jej część liniową w postaci objętości wpisanego walca kołowego

7ty¹ Ax = n [f(x)Y Ax .

Nietrudno jest uzasadnić, że we wszystkich trzech przypadkach błąd powstający przez taką zamianę jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż Ax, a mianowicie (‘): w przypadku 1) jest on mniejszy od KMi — Ay—dy, w przypadku 2) — mniejszy od AxAy, a w przypadku 3) — mniejszy od 7t (2y+Ay) Ax Ay.

Jeśli tylko udało nam się to zrobić, to możemy już twierdzić, że szukana wielkość Q jest dokładnie równa całce

(2)    Q = jq (x) dx .

a

Aby to udowodnić, rozbijamy przedział <a, bj punktami jci, x₂, ..., x_B__Ł na elementarne podprzedziały

O. *1>, <X_x, X₂>, ..., <X„ X|+j>, ..., <X_B-j, b} .

Ponieważ każdemu przedziałowi <*(,*_l+1> lub <x₍, x_t+Ax,y odpowiada część elementarna naszej wielkości równa w przybliżeniu q (x,) Ax_t, więc cała szukana wielkość Q jest w przybliżeniu równa sumie

Q * q (*i) Jx,.

i

W otrzymanej równości przybliżonej dokładność będzie tym większa im mniejsze będą podprzedziały podziału, Q jest więc granicą tej sumy, zatem Q wyraża się rzeczywiście całką oznaczoną

b

Q = j q(x)dx.

(') Przy założeniach podanych w odsyłaczu na poprzedniej stronicy.

13 Rachunek różniczkowy