0203

§ 3. Obliczanie wielkości mechanicznych i fizycznych

205

W szczególności jeśli obracająca się krzywa jest dana równaniem y = /(x) (a < x < b), to

b    _ b    _

M = 2tt J xy l/l +y'² dx = 2nf xf(x) /l + [/'(jc)]² dx.

a    a

Odległość £ środka ciężkości powierzchni od danej płaszczyzny wynosi więc

£ =

M

f xyds j xy ]/l +y'² dx

f yds J y +y'² dx

Zastosować ostatni wzór do powierzchni (a) stożka kołowego, (b) do półkuli.

Odpowiedź. Odległość środka ciężkości od podstawy jest równa (a) -j wysokości, (b) y promienia.

3) Wyznaczyć momenty statyczne M_yz, M_zx, M_x, względem płaszczyzn układu współrzędnych i położenie środka ciężkości powierzchni walcowej [346, rys. 35]. Zastosować otrzymane wzory do powierzchni odcinka walca [343, 8)].

Odpowiedź. Ogólne wzory mają postać

s    s    s

M_yt = J xz ds, M_zx = f yz ds, M_x, = y f ^z*d^s >

M_z,

M_x,

t ₌ Mj*. _{_}_

|ź»l ’    '' iP| ’    ^ Ifl

gdzie [P| oznacza pole powierzchni. W zaproponowanym przykładzie jest: £ = 0, rj = y na, £ = -^nh.

4) Momentem bezwładności (lub momentem kwadratowym) punktu materialnego o masie m względem pewnej osi (lub płaszczyzny) nazywamy iloczyn masy m przez kwadrat odległości d punktu od osi (lub od płaszczyzny). Wychodząc z tej definicji znajdziemy wzór na moment bezwładności l, figury płaskiej A₁B₁B_ZA₂ (rys. 46) względem osi y przy założeniu, że masa jest rozłożona z „gęstością powierzchniową” równą 1.

Mamy tu

dl_r = x²(y_z-y_z) dx,

b

J_y = / x²(y_z-y₁)dx.

£ =

a)

b)

Na przykład dla przypadków, przedstawionych na rysunku 47, otrzymujemy

e+fc/2

(a)    y₂-yi = b, I, = b J x²dx = bc²h+ -jyóA³ ;