0197

199

§ 3. Obliczanie wielkości mechanicznych i fizycznych

X²    V*

2) Znaleźć środek ciężkości ćwiartki elipsy + -p- ■= 1, posjugując się wynikami z ustępów

339, 2) i 343, 2).

W myśl twierdzenia Guldina mamy ( =

4a _ 46

3n ’ ^ 3n '

3) Jeśli figura ma oś symetrii, to jej środek ciężkości musi leżeć na tej osi.

Udowodnimy to w przypadku figury ograniczonej z dołu i z góry krzywymi o równaniach y₂ = fi(x) i y₂ = fi(x). Jeśli przyjąć za oś y oś symetrii, to obie funkcje y₂ i y₂ okażą się parzyste; przedział zmienności zmiennej a: ma w tym przypadku postać <—a, a}. Wtedy w myśl drugiego z wzorów (7a) [patrz 314, 9)] będzie

M_y = f x (y₂—y_t) dx = 0, równocześnie { = 0.

4)    Znaleźć środek ciężkości figury ograniczonej jedną gałęzią cykloidy x = a (/—sin /), y = = a (1—cos /) i osią X.

Z przykładów 9) z ustępu 339 i 4) z ustępu 343 oraz z twierdzenia Guldina łatwo otrzymuje się i} = -j- </. Dzięki symetrii f = na.

5)    To samo dla figury ograniczonej dwiema parabolami y¹ = 2px i x^x = 2py [patrz rysunek 24]. Posługując się przykładem 5) z ustępu 339 znajdujemy w myśl wzoru (7a)

	-P^3I dx — —-
2P )	^LP^33 ^y	10

²<’ ,

6) Podobnie jak pierwsze twierdzenie Guldina [porównaj 330, 3)] również i drugie może służyć do wyznaczenia objętości bryły obrotowej w tym przypadku, kiedy łatwo jest podać położenie środka ciężkości. Na przykład dla torusa (rys. 40) otrzymuje się w ten sposób objętość | V\ — 2n²r¹d.

353. Praca. Z mechaniki elementarnej wiadomo czytelnikowi, że jeśli siła przyłożona do poruszającego się punktu M zachowuje stałą wielkość Fi stały kąt z kierunkiem przesuwania się punktu, to praca A tej siły przy przesunięciu punktu o s jest równa ilpczynowi F cos (F, s) • s, gdzie (F, r) oznacza kąt między kierunkiem siły i kierunkiem ruchu punktu. Iloczyn F, = F cos (F, s) jest oczywiście rzutem siły Fna drogę s; wprowadzając takie oznaczenie możemy wzór na pracę A napisać w postaci A ■= F,s. Jeśli kieruneksiły pokrywa się z kierunkiem ruchu punktu, to A — F-s; w przypadku kiedy kierunki te są przeciwne jest A = -F-s.

Rys. 42

Ogólnie mówiąc ani siła F, ani kąt jej z kierunkiem ruchu (F, s) nie muszą być stałe. Jeśli chociażby jedną z tych wielkości zmienia się w sposób ciągły, to do wyrażenia pracy musimy się znowu posłużyć całką oznaczoną.

Niech droga s, jaką przebywa punkt, będzie zmienną niezależną; zakładamy przy tym, że położeniu początkowemu A naszego punktu odpowiada wartość s = s₀, a końcowemu B — wartość s = S (rys. 42). Każdej wartości zmiennej s w przedziale (s₀, S) odpowiada określone położenie punktu ruchomego, a także określone wartości zmiennych F i cos (F, s), które można wobec tego uważać za funkcje zmiennej s. Biorąc jakiekolwiek położenie punktu M, określone przez wartość s drogi, znajdziemy teraz wyrażenie przybliżone elementu pracy, odpowiadającego przyrostowi ds drogi od wartości s do s+ds, przy którym punkt M przesunie się w bliskie położenie M' (patrz rysunek). W położeniu M na punkt nasz działa określona siła F pod okre-