mechanika1 (podrecznik)8

120

6. Znaleźć środek ciężkości pola zakreskowanego płaskiej figury, przedstawionej na rys. 4.11. Figurę tę uzyskano z prostokąta z odciętą ćwiartką koła.

Rozwiązanie

Przyjmijmy układ współrzędnych, jak to zaznaczono na rysunku. Pole powierzchni zakreskowanej wynosi

F = -R²-\kR².

2    4

Zarówno po obrocie dookoła osi x, jak i dookoła osi y, powstanie walec obrotowy z wyciętą połową kuli. Po obrocie dookoła osi x powstała bryła ma objętość

' *(i *)*■!” ^Rl " 15

Składową x₀ środka ciężkości obliczamy z drugiej reguły Guldina, korzystając ze wzoru

K 19 R ^y° ~ 2nF ~ 6(6 - je)*

Podobnie licząc objętość bryły powstałej po obrocie figury dookoła osi y,

otrzymamy składową x-ową środka ciężkości z drugiej reguły Guldina

₌ JL ₌ ^5R

^X° 2kF 3(6-*)' 4.4. Momenty bezwładności

Moment bezwładności punktu materialnego q masie m względem płaszczyzny k definiujemy jako iloczyn

I = mr²,    (4.14)

w którym r jest odległością tego punktu od płaszczyzny. Podobnie, jeśli odległość od osi l danego punktu o m‘asie m wynosi r, to identycznym wzorem definiujemy moment bezwładności względem osi /, przy czym nazywa się ten moment osiowym momentem bezwładności. Jeśli r jest odległością od stałego bieguna punktu materialnego o masie m, to moment opisany powyższym wzorem nazywamy momentem biegunowym.

Dla układa n punktów materialnych moment bezwładności jest sumą n momentów bezwładności poszczególnych punktów. Dla ciała ciągłego moment bezwładności będzie określać całka

I = J r²dm    (4.15)

IM)

rozciągnięta na wszystkie elementy masy ciała. Ponieważ dm — pdV, gdzie p - jest gęstością ciała, więc

I = JjJ t² pdV.    (4.16)

(D

Jeśli moment bezwładności liczymy nie dla elementów masy, ale elementów geometrycznych (objętości, powierzchni, linii), to otrzymamy odpowiednie momenty geometryczne I_s, Zakładając, że gęstość ciała jest stała, wzór 4.16 zapiszemy I = p\\\r² dV. Wyrażenie pod całką jest geometrycznym momentem bezwładności

(V)

* a więc

1 = Ph    (4-17)

Jest to relacja między momentami geometrycznymi i masowymi, jęśli ciało jest jednorodne. Ponieważ moment bezwładności zależy od odległości w kwadracie, zatem łatwo dowieść, że podczas obliczania momentów bezwładności nie wolno skupiać masy w środku masy. Odległość od danej płaszczyzny, osi lub bieguna, w której można by umieścić całą masę, aby moment bezwładności nie zmienił się (liczony tylko względem płaszczyzny, osi czy bieguna), jest tzw. promieniem bezwładności i. Zatem

I = mi²,.    (4.18)

stąd

Wielkość ta nie ma .bezpośrednio fizycznego znaczenia, jest jednak dość często stosowana w obliczeniach.

Traktując ciało sztywne jako zbiór n-punktów materialnych w konkretnym układzie współrzędnych kartezjańskich, mamy następujące momenty bezwładności względem płaszczyzn układu (rys. 4.12):

hy= t    = E ^ml>?;    ^/>Z= Z ^mi^Xi²’    (4.19)

.    ^    i=l .    i=l    i=l

następujące osiowe momenty bezwładności