mechanika1 (podrecznik)
0

22

4. Znaleźć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach e,f,g z poprzedniego zadania.

		e, Cr		-1 0 3
V =	L	/, /.	-	2 -3 -1
	9X	9, 9:		9 5 3

Należy brać wartość bezwzględną wyznacznika, ponieważ objętość nie może być ujemna.

5. Korzystając z rachunku wektorowego, znaleźć kąt między przekątnymi sześcianu (rys. 1.24). Dla prostoty można* założyć, że bok sześcianu ma długość l.

Rys. 124    Rys. 1.25

W układzfe współrzędnych przyjętych na rysunku wektor CD ma składowe (1,-1,-1), a wektor AB (1,-1, 1), więc

cos (DC, AB)

yi² + (-i)² + (-i)² Vi² + (-i)² +1²

i

3 *

6. Wyprowadzić za pomocą rachunku wektorowego wzór kosinusów z trygonometrii sferycznej (rys. 1.25).

Wektory a, b, k są trzema niewspółpłaszczyznowymi wektorami jednostkowymi, oznaczonymi odpowiednio:

9, = \{a, k), e₂ = <(b, k), e₃ = <i(fl, b).. '

Oznaczmy przez i_l i i₂ dwa wektory jednostkowe prostopadle do k, odpowiednio leżące na płaszczyznach fca i kb. Wówczas

a = k cos 9₂ + i_t sin    b = k cos 9₂ + i₂ sin 9₂.

Jeżeli oznaczyć kąt między wektorami i_L oraz i₂ przez ę, to a ■ b = (fccos0₁ + i_x sinflj • (kcos9₂ + i₂sin0₂)

= cos 9_y cos 9₂ + sin 9_t sin 9₂ cos q>

Ponieważ

a • b — cos 9₃,

więc

cos 0₃ = cos 9_l cos 9₂ + sin 0₁ sin 9₂ cos <p.

7. Dowieść, że suma płaskich, skierowanych elementów czworościanu rozpiętego na wektorach a, b, c, jest równa zeru (rys. 1.26).

Przez płaski, skierowany element definiuje się wektor prostopadły do danej figury płaskiej, o wartości równej liczbowo powierzchni figury i o zwrocie względem obwodu skierowanego figury, zgodnym ze śrubą prawo-skrętną. W przypadku ściany bryły skierujemy go na zewnątrz bryły. Pamiętając, że pole trójkąta zbudowanego na wektorach g, h i g - h wyraża się wzorem

P = \\{g x *)|,

można elementy skierowane (rys. 1.26) przedstawić jako

r = -£^c-^b) x(a-6),

s = ^(c x b),

p = ^(b x a),

? = |(ox c),

zatem

s + p + q + r = ^{cxh-i-fexa + axc + (c-f))x(a-f))} =

= -(c xi + ixa + axc + cxa-txi-Jxa) = 0

Podobnie można udowodnić, że suma elementów skierowanych dowolnego wielościanu zamkniętego równa się zeru.

1.15. Pochodna wektora względem parametru

Rozważmy wektory o wspólnym punkcie zaczepienia 0 (rys. 1.27). Niech każdej wartości zmiennej skalarowej t przyporządkowany jest pewien wektor a. Końce wektora a będą leżały na pewnej krzywej L. Przy zmianie wartości parametru od