mechanika1 (podrecznik)0

124

Ii = z ^mi^xi = Z ^mi(^x« + a)² = Z ^mi^xi +

i~ 1    i = 1    i-1

n    n    n    n

+ 2a £    + Z ^mi^fl2 = Z ^m>^x2i + ^flZ Z

i = 1    i=l    i = i    i= 1

jeśli bowiem oś przechodzi przez środek masy ciała, to moment statyczny

n

Y ^mi*ji = 0- Ponieważ pierwsza suma przedstawia moment bezwładności względem

i⁼ i    _#    n

osi przechodzącej przez środek masy I_t3, natomiast £ m_; = M jest masą ciała, więc

i= i.

(4.29)

/, = h, + Ma².

Rys. 4.14

Rys. 4.15

Stanowi to treść twierdzenia Steinera: moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy sumie momentu liczonego względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami.

Można wykazać, _#że twierdzenie to jest prawdziwe dla momentów liczonych względem płaszczyzn równoległych, z których jedna (nj przechodzi przez środek masy

/, = /„ + Ma²,.    (4.30)

a - jest odległością płaszczyzn od siebie.

Ze wzorów (4.29) i (4.30) wypływa wniosek, że wartości momentów bezwładności liczonych względem osi równoległych (płaszczyzn równoległych) są najmniejsze wówczas, gdy oś lub płaszczyzna przechodzą przez środek masy ciała.

- -V-

4.4.2. Transformacja równoległa momentów zboczenia

Wprowadzimy dwa układy współrzędnych, równolegle przesuniętych, z których osie jednego układu przechodzą przez-środek masy ciała (x_s y_s zj (rys. 4.15). 7 rvsnnkii widać, że moment dewiacji względem płaszczyzn xz, yz wynosi

^Dxy = Z m,x_iy_i = Z ^mi(^x« + ^xo) (y.i + ^o) =

i = i

i- 1

= Z ^mi^x*ysi + Z ^mi^x*iyo + Z ^mi^xoy* + Z ^mi^xoy<> =

i = 1

i= i

i = 1

= Z + y₀ Z + ^xo Z    + ^xoy₀ Z "v

i = 1    i= 1    l = 1    i= 1

Ponieważ

z rn^si = 0, Z = ^{0 oraz} Z = ^Dx*y, Z ^mi = ^M-

i=l    i = 1    i= 1    1=1

zatem

Dxy = Dx,y, +x₀y₀M.    (4.31)

Moment dewiacji liczony względem równoległych płaszczyzn jest równy momentowi dewiacji liczonemu względem płaszczyzn przechodzących przez środek masy i iloczy nowi masy i odległości między dwiema parami równolegle przesuniętych płaszczyzn.

.Analogicznie do poprzednich obliczeń momenty dewiacji względem płaszczyzn xy, xz oraz yz, xy wynoszą

Dyz = D,'_St + My₀z₀, D_zx = D._mX> + Mz₀x₀.

4.4J. Transformacja obrotowa momentów bezwładności

Dany jest zbiór punktów materialnych, których położenie jest opisane w kartez-jańskim układzie współrzędnych prostokątnych (rys. 4.16). Zakładamy, żę znane są momenty bezwładności I_x, I_y, I. i momenty dewiacji D_xy, D_y., D_x; tego zbioru punktów materialnych. Przez początek układu współrzędnych przeprowadźmy oś l określoną wersorem /°, która tworzy z osiami układu współrzędnych kąty odpowiednio a, fi, y. A więc wersor 1° można zapisać

1° = icosa+_/cos/l + fccosy.    (4.32)

Określmy moment bezwładności opisanego układu punktów względem tak zadanej osi /.

Dla i-tego punktu materialnego moment bezwładności względem prostej / wynosi (patrz rys. 4.16)

hi = rn-jf.