mechanika1 (podrecznik)1

126

Wielkość r; możemy wyznaczyć, gdy znamy wektor wodzący o_; = x,i + yj + z_tk, opisujący położenie punktu m_i w układzie współrzędnych oraz składową OA wektora g_t na oś l, bowiem

r? = pf-OA².

Zauważmy, że składową wektora g na osi l można wyznaczyć z iloczynu skałarowego.

O A = g • 1° = x_; cos a + y_t cos /? + z_f cos y,

zaś

Pi = xf + yf + zf,

zatem

rf = xf + yf + zf - (x_; cos a + y₍ cos /? + z_£ cos y)².

Ponieważ wielkość

f° • 1° = 1,

więc

cos² a + cos² /? + cos²y = 1.

Uwzględnienie tej zależności (po prostych przekształceniach) prowadzi do wzoru rf = (yf + zf)cos²cc + (zf + xf)cos²/? + (xf + yf)cos²y --2x_;y;COsacos/l - 2y_;Z;Cos^cosy - 2z_ix₁cosy cos a.

Jeśli pamiętamy, że

Ixi = Myt + ^zt)\ Iyi = ^mi(^zt + xfy, I-i = m,(x² + yf)

oraz

Dtyi = m_ix₁y_ii D_yzl = m^z,; D._xl = m_;z_;x,, ■ to pomnożenie rf przez m_i daje

hi = Jxi cos²x 4- 7_yi cos²/l + J-jCOS²y - ID^ cos a cos /? -

•    - 2D_:xicosfłcosy - cos a cos y.

Dla całego zbioru punktów zależność ta w funkcji kątów pozostaje oczywiście bez zmiany, jedynie poszczególne momenty drugiego rzędu odnoszą się do całego zbioru punktów

(4.33)

I_t = I_x cos²a + I_ycos²/J + I, cos²y ~‘2D_xycosacos fi -- 2D„cosacosy - 2Z)_y.cos^cosy.

Zwróćmy uwagę, że przyjęcie przeciwnego zwrotu na osi l nie zmieni wartości wartości bowiem wszystkich kosinusów zmienią się na przeciwne. Wyniku tego należało oczekiwać, ponieważ moment bezwładności J, nie może zależeć od przyjętego zwrotu osi; moment bezwładności dowolnego punktu zależy przecież od kwadratu odległości punktu od osi, a nie od jej zwrotu. W przypadku, gdy oś l leży np. w płaszczyźnie xy, wzór (4.32) znacznie się upraszcza, kąt y = 90° i cosy = 0, natomiast ^ = 90 - a. (rys. 4.17). Wówczas

i, = I_x cos²a + I_y sin²a - D_xy sin 2 a.    (4.34)

Wzór ten jest stosowany do wyznaczania momentów bezwładności figur płaskich.

4.4.4. Elipsoida bezwładności

Wyprowadźmy z punktu O (rys. 4.18) pęk prostych. Na każdej z tych prostych odłóżmy odcinki OP w lewo i w prawo od punktu O. Długość tego odcinka niech będzie proporcjonalna do odwrotności pierwiastka kwadratowego z I₍, czyli

OP

(4.35)

Współczynnik proporcjonalności C jest wielkością mianowaną, niemniej jednak wartość jego możemy przyjąć dowolnie. Niech C = 1. Zauważmy, że

OP cos a = x; OP cos f} = y; OP cosy = z,