mechanika1 (podrecznik)
1

24

Rys. 1.27

wartości r do t + At odpowiednio zmienia się wektor a, tak że zmiana ta wynosi Aa = a(t + At) - a(t). Jeśli wektor a(r) zmienia się w funkcji parametru w sposób ciągły, tzn. jeśli każda ze składowych wektora jest funkcją' ciągłą, to przy* At-> 0 mamy \Aa | -* 0 i możemy zbudować wektor będący ilorazem Aa/At. Jeśli okaże się, że ten iloraz dąży do pewnego wektora przy granicznym zmierzaniu parametru At do zera, to wielkość tę zapisujemy:

da    Aa

— = lim dr

(1.23)

dt-o

i nazywamy pochodną funkcji wektorowej a(t) względem zmiennej skalarowej t. Aa    da

Ponieważ wektor — leży na cięciwie, więc wektor — leży na stycznej do krzywej L, At    dr

i zwrócony jest w kierunku wzrastania parametru t. Stąd w szczególności, jeśli moduł wektora a jest stały, to końce wektora a leżą na kuli, a wektor da/dt jako styczny do kuli jest wówczas prostopadły do wektora.

Podobnie jak w analizie funkcji skalarowej można dowieść następujące zależności:    '

da da, da„ da. — - «-r +J^r* + ^krr dt dr dr dr	(1.24)
d(a + b) da d6 dr dr dr	(1.25)
d(JLa) dX da , = . a + X , dt dr dt	(1.26) •
d(a ■ b) da , dh , =,•£» + a • dr dr dr	(1.27) -

gdzie skalar X = X(t)

d(a x b) da , db = x b + a x dc dr dr	(1.28)
da(s(r)) da ds dr ds dr'	(1.29)

Również całkowanie, w przypadku gdy pod znakiem całki występują wektory bądź to jako funkcje podcałkowe, bądź też jako różniczki typu da, przeprowadza się całkowicie podobnie jak w przypadku całek z funkcji skalarowych, pamiętając, że całki powstają ze zwykłych sum przy przejściu do granicy. Całki takie mogą być liniowe, powierzchniowe lub przestrzenne. Jeśli różniczka dana jest przez wektor, to możemy jej część wektorową związać z funkcją podcałkową, pozostawiając różniczkę wielkości skalarowej.