mechanika1 (podrecznik)3

48

Analityczne warunki równowagi

Płaski układ sił będzie się znajdował w równowadze wówczas, gdy wektor główhy i moment główny układu będzie równoważny zeru

s = i Pi*i + i Pij = o

i-1    i-i

n

M° = Yj mom.P^ = 0.

i=l

Tym dwóm równaniom wektorowym odpowiadają następujące równania skala-rowe, zwane warunkami równowagi dowolnego płaskiego układu sil:

i Pu = o,

i= i

i P.iy = 0,    (2.17)

i- 1 ^mn

Y mom. Pj = M° = 0

i —i

Sumy rzutów wszystkich sił na dwie wzajemnie prostopadłe osie muszą być równe zeru i suma momentów wszystkich sił względem dowolnie obranego bieguna musi także równać się zeru.

2.5.3. Inne sformułowanie warunków równowagi dla układu sił na płaszczyźnie

»

Na planie dowolnego płaskiego układu sił (rys. 2.36) obieramy dowolnie trzy bieguny Oj, 0₂, 0₃ tak, by nie leżały na jednej prostej. Wyznaczamy kolejno momenty sił względem tych biegunów. Jeżeli układ ma pozostawać w równowadze,

to moment sil względem dowolnego bieguna musi się równać zeru. Równania momentów mają postać:

(A)

(B)

(C)

M? = £ r, x P, = 0,

1=1

Ml = tr_txP_{l +} O_zO, x £ Pj = 0,

i= 1

i = 1

= £r,x P_{i +} O₃0, x £P, = 0.

i = 1    i = 1

Z równań momentów względem bieguna 0₂ (5) i bieguna O_a (C) wobec (4) wynika, że

0₂0, x £ Pi = 0,

* . i = 1

o₃o_L X £p_; = o.

I— 1

Po utworzeniu różnicy

0₂0₂ X £ Fi - OjO! x £ F; = 0

1 = 1    i = i

i po uporządkowaniu otrzymujemy

(0,0,-030,) x £ P_f = O.

i = l

Iloczyn taki jest równy zeru dla dowolnie wybranych punktów O,, O,, O, wtedy i tylko wtedy, gdy

£b_; = o,

i=i

z czego wynika, że wektor główny układu S = £ F_f musi równać się zeru.

i = l

Stwierdzamy stąd, że trzy równania momentów względem dowolnie obranych biegunów nie leżących na jednej prostej, stanowią warunki równowagi układu, gdyż pierwsze z trzech równań przedstawia warunek, by moment główny był równy zeru, a z dwu pozostałych wynika, że wektor główny układu rówńa się zeru.

2.5-4. Wykreślna redukcja układu sil na płaszczyźnie — wykreślne warunki równowagi

W redukcji analitycznej łatwiej było posługiwać się swobodnym wektorem głównym układu (rysT2.37). W statyce wykreślnej natomiast łatwiej jest stosować