Kolokwium 2 Dwumian Newtona

DWUMIAN NEWTONA

1,Podręcznik : str. 24 zad. 1.16 - 1.22 .

2.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n spełniające warunek :

a)

n

n

22

33

c)

n + ł n - 1

< 21 d)

b)

n + 1 n- 2

n + 1    \    „ / n

< 100 e)

n-1    /    V 5

n

n² - 2 n

Odp. a)n=55 b)n=6 lub n=12

<

n

3

Odp. c) 1 < n < 5 , n e Nd) 2 < n<9,neiV e) n e {5; 6; 7} .

35 'N

C =

3.Liczby A =

35

3

36

34

+

że dzielą się przez 37 i 111 .

, B =

35

5

33

J

+

35

34

V

+

36

33

oraz

zapisać w postaci (ⁿ) i wykazać ,

4.0bliczyć : a) ( 1 + 2x )⁵ b) ( 1 + 72 )⁵ c) (l - 72 )^D d) (l - 75")⁶ e) (a-2b)⁶

Odp. a) 1 + 10x + 40x² + 80x³ +80x⁴ +32x⁵ b) 41 + 297^ c) 41 -2972

d) 64( 9 - 475 ) e) a⁶ - 12a⁵b + 60a⁴b² - 160a³Z>³ + 240a²b⁴ - 192ab⁵ + 64b

120

5.Wyznaczyć środkowy wyraz rozwinięcia : a) (a³    b) (72 + ²72)

Oap. a)

30

15

60 u 15

a^b0b

b)

120

60

A

J

33

120

S.Wykazać , że 81- szy wyraz rozwinięcia dwumianu (72 + 75 ) dzieli się

przez 10²⁰ .

7.Znaleźć w rozwinięciu dwumianu : a) (Tx + 7)'⁵ b) (x²+x~⁶)⁸⁸⁸ wyraz,

który nie zawiera x . Odp. a) A₆ =

15

5

= 3003 b) A223 =

S.Znaleźć trzydziesty czwarty wyraz rozwinięcia (x-    . Odp. -

888

222

77

33

88

9.W rozwinięciu dwumianu (-f---f-V° znaleźć współczynnik

przy x

22

Odp.

88

33

10.Zbadać , czy czterdziesty wyraz rozwinięcia dwumianu

+

75 Y , gdzie

n + 1 n - 1

= 50 • 99 , jest liczbą naturalną.

Odp. Tak.

11.Obliczyć sumę :

+ 3

0

\ f _n

. H 2

n

n

n

\

. Odp. 4"