mechanika1 (podrecznik)4

I

90

Poszukajmy teraz takiego bieguna, względem którego moment główny układu będzie równoległy do wektora głównego: M^C||S (rys. 2.86)

M^c = M°+ CO xS.

W przypadku M^C||S iloczyn wektorowy S x M^c = 0, stąd S x (M° + CO x S) = 0, po zmianie zwrotu wektora CO

S x (M° - OC x S) = 0,

a po wymnożeniu

S x M°-S x (OC x S) = 0.

Rozpisujemy potrójny iloczyn wektorowy na podstawie wzoru (1.21):

S x M°-OC(S ■ S) + S(OC ■ S) = 0.

Mnożymy to równanie wektorowo przez S, ponieważ S(OC ■ S) jest równoległy do S, otrzymujemy

(S x M°) x S-OC ■ S² x S = 0,

czyli

OC ■ S² x S = (S x M°) X S.

Równanie to ma następujące rozwiązanie:

OC ■ S² = S x M° + X-S,

gdzie l dowolna liczba rzeczywista. Stąd znajdziemy wektor OC określający położenie bieguna C

I

SS

■y*

OC =

S x M°

(2.22)

gdzie

X - —

^ - s²'

Okazuje się, wobec dowolności liczby X, że istnieje cały szereg biegunów tworzących prostą równoległą do 5, względem których momenty główne układu będą równolegle do wektora głównego. Prostą tę nazywa, się osią centralną, .a zespół siły i momentu liczonego Względem bieguna leżącego na prostej centralnej, skrętnikiem. Dowolny przestrzenny układ sił redukuje się zatem do skrętnika (wektora głównego i momentu-głównego - równoległych) działającego wzdłuż osi centralnej (rys. 2.87).

Należy podkreślić, że dla ustalonego lecz dowolnego układu sił istnieje tylko jedna oś centralna.

2.10.1. Równanie osi centralnej

os centralna

I /

Rys. 2.87

Z warunku równoległości wektorów M^c || S, M^c — AS, gdzie A jest współczynnikiem proporcjonalności, otrzymamy

M^c = M°-OC xS = AS.

Jeśli więc 0 jest początkiem układu współrzędnych, a punkt C ma współrzędne (x_c, y_c, z_c), to po rozpisaniu równania wektorowego mamy

M_xi + MJ + M.k -

i • j k

\

s, s, s_t

— XS_xi + ASy_/ -b XS.k.

Mnożąc to równanie skalarowo kolejno przez i, j, k i wyznaczając A z każdego równania, po porównaniu stronami otrzymamy

^Mx ~ kc' S₂ + z_c • S M_y - S_x ■ z_c + S_zx_c M, - S ■ x_c + S_x- y_c

. (2.23)

Jest to poszukiwane równanie prostej - osi centralnej.