mechanika1 (podrecznik)4

132

■Zależności (4.44) i (4.45) pozwalają na obliczenie głównych momentów bezwładności i położenia osi głównych. Co więcej, pozwalają na wykreślny sposób wyznaczenia wartości /₁, I₂ i cp₀. Konstrukcja taka zwie się konstrukcją Mohra (rys. 4.19). Dla prostoty obliczeń załóżmy, że I, > I_y> 0.

W układzie współrzędnych, gdzie na osi x odkładamy wartości momentów bezwładności, a na osi y - moment dewiacji (wszystkie w tych samych jednostkach długości), kreślimy następującą konstrukcję: odcinek równy momentowi dewiacji odkładamy prostopadle do osi x, w górę przy I_x, jeśli D_xy > 0 i na dół, jeśli D_xy < 0, a przy I_y < I_x w stronę przeciwną. Ze środkowego punktu odcinka AB (rys. 4.19) zataczamy okrąg promieniem R, który odcina na osi x wartości I₂ i I₂ równe momentom głównym. Kąt transformacji <p jest połową kąta COB, przy czym położenie osi głównej dla momentu I₂ (większego) jest w kierunku od punktu C do D. Z konstrukcji widać, że

co pozwala sprawdzić słuszność konstrukcji dzięki porównaniu wyników ze wzorami (4.44) i (4.45). Jeśli I_x > l_y i D^ > 0, jak w omawianym przypadku z rys. 4.19, to tg 2 (p₀ < 0 i skierowanie kąta 2 cp₀ zgadza się z przyjętym.

4.4.5. Transformacja obrotowa momentów dewiacji

Załóżmy, że kąty jakie tworzą osie układu £, 77, ( z osiami układu x, y, z są następujące:

dla osi ^ - Di₁, f}_t, y_x, dla osi rj - a₂, /J₂, y₂, dla osi f - oc₃, y₃.

Współrzędne punktu mają wówczas postać:

£ = xcosa₁ + ycos/?! + zcosy₁, ■ rj = xcosa₂ + ycos/?₂ + ;cosy₂,

C = x cos a₃ + y cos /1₃ + z cos y₃.

Wyrażamy moment dewiacji ciała sztywnego = 'j rjędm (całka jest brana po

(AO

całej masie ciała) za pomocą momentów bezwładności i dewiacji wyznaczonych w układzie x, y, z.

Dęq = j (xcosa₁ + ycos/^.-t- zcosy₁)(xcosa₂ + ycos/J₂ + zcosy₂)dm =

(AO

= J x²cosa₁cosa₂dm + J y² cos /J₂ cos f}₂ dw + J z²cosy₁ cosy₂dm +

(Af)    (AO    * ‘    (*0

+ J xy(cosa₁cos^₂ + cos^j^cosajjdm 4- j xz(cosa₁ cosy₂ + coST^cosa^jdm + (AO    (AO

+ J yz^os/^cosyz + cos/^cosyjdm + coso^coso^ J x²dm +

(AO    (AO

-t- cos fi ^ cos fi₂ 1 y¹ dm + cosy₁ cosy₂ j z²dm +

(AO    (AO

+ (cosa₁ cos fi₂ + cos/?_x ćosa₂)D_xy + (cosc^ cosy₂ + cosy! cos    +

+ (cos fi _t cosy₂ + cosy,^ cos fi₂)D_yz.

Ponieważ jednak

j x² dm — J [r²    (y² + r)]dm

\y²dm = J [r² - (x² + z²)]dm jz²dm = j[r² - (x² + y²)]dm więc po podstawieniu suma trzech pierwszych całek wynosi

(cosa₁coso£₂ + cos^cos^j + cosy₁cosy₂) \ r²dm-

(AO

- coso^ cosa, j(y² + z²)dm -

- cos fi ₂ cos fi₂ j(x² + z²)dm - cosy_xcosy₂ j(x² + y²)dm

Jednakże

cos a_x cos a₂ + cos fi₂ cos fi₂ + cos y_L cos y₂ = 0,

natomiast

j(y² + z²)dm =-I_x, j(x² + z²)dm = I_y, J(x² + y²)dm = 1., zatem wyrażenie określające moment dewiacji D_in przyjmie postać:

D_in = -(cosct_lcosx₂I_x+cosfi_lcosfi₂I,+ cosy_lcosy₂I_z) +

+ (cos a_x cos fi₂ + cos fi₂ cos ct₂)D_xy +

+ (cos^cosyj + cos y_x cos fi₂)D_y. +

+ (cos y_x cos a₂ + cos a_i cos y₂)D_XZ.

Analogicznie otrzymujemy pozostałe momenty dewiacji:

D^ = -(cos cc₂ cos a₃ l_x + cos fi₂ cos fi₂ l_y + cos y^ cos y₃ I_z) +

+ (cos a₂ cos fi₃ + cos fi₂ cos y ₃)D_xy +

+ (cos/?₂cosy₃ 4- cosy₂cos fi₃)D_yz +

-------h (cosy₂ cos a₃ + cosac₂ cos y₂)D_xz.