mechanika1 (podrecznik)4

112

42. Momenty statyczne

Dana jest płaszczyzna n i punkt materialny o masie m, oddalony od płaszczyzny o odległość r. Punkty położone po jednej stronie płaszczyzny mają odległość dodatnią, po drugiej zaś - ujemną. Momentem statycznym punktu A względem płaszczyzny k nazywamy iloczyn

S_K = mr.    (4.3)

Dla układu punktów o masach m_i i odległościach r_; momentem statycznym jest suma momentów statycznych poszczególnych punktów. Jeśli położenie i-tego punktu o masie m_i jest opisane w układzie kartezjańskim współrzędnymi x_u y_b z_if to momenty statyczne układu n punktów materialnych względem płaszczyzn utworzonych przez osie układu wyrażają się zależnościami (rys. 4.3):

n    n    n

S_xy = E^mi^Zi. ^SXZ = I>i>i,    Sy-. = Z^mi^Xi-    -(⁴'⁴)

i-1    i~l    ( = 1

Podobnie definiujemy moment statyczny punktu względem osi jako iloczyn masy punktu przez odległość od osi. Dla układu punktów z rys. 4.3 momenty statyczne względem osi są ujęte następującymi wzorami:

Sx = X>Px, Sy =    s_: = X^mi^rr- '    (⁴-⁵)

1=1    1 = 1    i = l

Momenty statyczne są momentami pierwszego rzędu, zależą bowiem od współrzędnych wyrażenia w sposób liniowy. Dlatego też w liczeniu momentów stosuje się prawo addytywności.—W—przypadku -brył prowdzimy pojęcie gęstości p ciała

materialnego w punkcie P(x_it y_b z_f) jako granicę, do jakiej zdąża stosunek elementu masy Am do elementu objętości Av, jeśli Av zdąża do zera, przy odległości dowolnych dwu punktów należących do Av, również zmierzającej do zera. Zatem

P(^ikiZi) = lim

Jii-0 do

Elementarna masa dm — pdv, a momentem statycznym bryły np. względem płaszczyzny xy będzie (rys. 4.4)

^s*y = Hf pzdu.

(»)

Całka jest rozwinięta na całą objętość ciała. Jeśli gęstość ciała jest stała, czyli nie zależy od położenia, to możemy napisać

ójcy = _p\\\zdv.

(»)

Całka, która tutaj występuje jest niekiedy nazywana momentem statycznym objętości V; jego iloczyn przez gęstość daje moment statyczny bryły. Jest to oczywiście słuszne dla ciała ze stałą gęstością, a więc ciała jednorodnego w sensie fizycznym.

4.3. Środki masy

•Niech w danym układzie współrzędnych znajduje się n-punktów materialnych, * których położenie jest opisane promieniami wodzącymi r_t(i — 1, 2,...,n). Środkiem masy będziemy nazywać punkt o współrzędnych