mechanika1 (podrecznik)7

118

118

Rozwiązanie

Oś pionowa x = 1/2 jest osią symetrii pola, zatem składowa x_c środka ciężkości x_c = 1/2. Rozważmy położenie środka ciężkości wycinka pola o grubości dx i położonego w odległości x od początku układu. Wycinek ten możemy w przybliżeniu uważać za prostokąt o podstawie dx i wysokości y = A sin n/1 ■ x, zatem dla rozpatrywanego wycinka środek ciężkości y_cw=l/2Asimz/lx. Dla

całego pola środek ciężkości wyniesie więc

TL

7

r 1 ,    •    ⁷¹    .    .    '<■    ,

A K

T⁷'

J -/łsin-x • ismyrcbc

j^- A sin - x dx o ‘

4. Wyznaczyć współrzędne środka masy łuku (rys. 4.9) o rozwartości kąta środkowego 2 cl i promieniu R.

Rozwiązanie

Rys. 4.9

Ze względu na symetrię (patrz rys. 4.9), współrzędna y_c = 0. Określimy współrzędną x_c. Dla elementu łuku o długości ds = Rdcp, położonego pod kątem <p, współrzędna x-owa środka ciężkości x — R cos cp, zatem

a

| R cos cp ■Rdcp

j Rdcp

— a

2 R₂ sin a    R sin a

2ciR    cl

w szczególnym przypadku, gdy a = n/2 (półokręgu) mamy

„ . n R sin-

2    2 R

x_n =

TL

TL

2

Obliczmy zadanie, stosując pierwszą regułę Guldina, gdy a = n/2.

Rozwiązanie .

Obracając półokrąg dookoła osi otrzymujemy sferę. Długość półokręgu jest równa kR, powierzchnia zaś sfery 4kR², zatem

4 n R² = 2 7t y_c ■ u R,

=

2 R

71

Wynik ten jest zgodny z poprzednio uzyskanym.

5. Wyznaczyć położenie środka ciężkości obrotowego stożka prostego o promieniu podstawy R i wysokości h.

Rozwiązanie

Widać, że oś z jest osią symetrii stożka (rys. 4.10), zatem x_c = y_c = 0.

Dla dowolnego wycinka, równoległego do podstawy, o powierzchni nrł i grubości stożka określa zatem współrzędna

h    h

jnrłzdz jnr²zdz

_z = °---------- = o_1_

*    i

jnrjdz    - kR² h

n    3

Zauważając, że promień wycinka r, zależy od wysokości z (rys. 4.10), wyznaczamy tę zależność z proporcji rj{h - z) = R/h, stąd r_z = R/h(h - z). Wykorzystując to otrzymujemy

z

o

1

7zR² ■ h

h d2

}K-Tj{h-z)²dz 0 "

Łatwo dowieść, że wynik ten jest prawdziwy dla wszystkich ostrosłupów.