mechanika1 (podrecznik)6

136

Rozwiązanie

Przyjmijmy układ współrzędnych pokrywający się z bokami prostokąta (rys. 4.21). Dzieląc, pole prostokąta na elementy powierzchni dxdy mamy

^b “    ba³

l_x = ]]y²dxdy = —,

0 0    ^J

i, = }]x²dxdy = ?y. oo

Moment biegunowy względem punkt-u O wynosi

*0 = Jx +    = "y (^^Z + ^²)t

moment dewiacji natomiast

r r    , j b²/t²

Ac, = JJxydxdy = —. oo    ^ą

2. Znaleźć główne centralne momenty bezwładności w przypadku prostokąta rozwiązywanego w zadaniu 1.

Rozwiązanie

Prostokąt ma dwie osie symetrii, przechodzące przez jego środek i równoległe do boków. Są to więc centralne osie główne. Momenty bezwładności liczone względem tych osi, znajdziemy z twierdzenia Steinera (odległość osi x i x₀ jest a/2).

A = Lo + P

gdzie P - pole prostokąta,

ba³ , = —-ah

4 ⁼l2^a3.^b'

Podobnie

-a*'7 "ir⁴’-

Ponieważ są to osie główne, moment dewiacji, liczony względem nich, zanika.

3. Znaleźć momenty główne, i osie główne dla układu o początku w punkcie O prostokąta rozważanego w zadaniu 1, jeśli a = 3 cm, b = 2 cm. Rozwiązanie

Na podstawie wzorów przytoczonych w przykładzie 'I,'tego rozdziału, otrzymujemy

18 + 8 //18 + 8\²

+ 9² = (13 ± 10,3) cm*

-li.2 —    ^ i

tg2ę>₀ =

ba

ab

a²h²

I_x = — = 18 cm*, /, = — = 8 cm*, D_xy = —— = 9 cm*,

stąd

2 • 9

8-18    5'

Konstrukcja Mohra omawianego przypadku jest pokazana na rysunku 4.22.

Rys. 4.22

4. Obliczyć moment bezwładności walca obrotowego o wysokości h i promieniu podstawy r, liczony względem osi walca i względem jednej ze średnic podstawy.

Rozwiązanie

Przyjmijmy układ współrzędnych, jak na rysunku 4.23. Moment bezwładności względem osi z wynosi

2*ah    o 4    n4. l

l_t= J Jprdpdrdz = ~-2n-h =

ooo    4    2

Moment bezwładności walca względem średnicy podstawy, np. osi y znajdziemy, pamiętając o zależności