mechanika1 (podrecznik)6

116

4. Środek ciężkości układu ciał nie zmienia się, jeśli zamiast części układu wprowadzimy punkt materialny o ciężarze równym ciężarowi tej odrzuconej części i punkt ten umieścimy w środku ciężkości części odrzuconej.

4.3.1. Reguły Guldina

Niech na płaszczyźnie xy leży linia płaska o równaniu y=f(x) (rys. 4.5). Załóżmy, że rozważamy odcinek tej linii o długości l, który nie przecina osi x Jeśli odcinek ten dokona obrotu dookoła osi x, to powstanie powierzchnia obrotowa, której pole wynosi

F = j InyAs = 2n [ yds,

(0    to

a całka jest rozciągnięta na całą długość tego odcinka. Ponieważ y-kowa składowa środka ciężkości odcinka linii wyraża się wzorem

y₀ =

J yds

to_

l ’

a więc

J kds = y₀i,

(0

zatem

(4.12)

F = 2ny₀l.

Otrzymana zależność zwie się pierwszą regułą Guldina: pole powierzchni obrotowej powstałej w wyniku obrotu odcinka linii jest równe iloczynowi drogi środka ciężkości tego odcinka przez długość odcinka. Linia jest płaska i nie może przecinać

Obróćmy figurę płaską o powierzchni F, leżącą na płaszczyźnie xy, dookoła osi x. Figura nie może przecinać osi obrotu (rys. 4.6). W wyniku obrotu powstaje bryła obrotowa, której objętość jest równa

V= tflnydF = IrztfydF.

(F)    (F)

Ale

H yw

y₀ =    --środek ciężkości figury, pozwala nam zauważyć, że

F

ii ydF = y₀F,

(f)

stąd można uzyskać następującą zależność, zwaną drugą regułą Guldina:

V = 2ny₀F.    (4.13) *

Objętość bryły, która powstanie w wyniku obrotu pewnego pofa figury płaskiej, wokół osi, której figura nie przecina, jest równa iloczynowi drogi środka ciężkości tego pola przez pole tej figury.

Przykłady

1.    Znaleźć położenie środka ciężkości odcinka jednorodnego o długości a. Rozwiązanie

Punkt środkowy odcinka jest zarazem środkiem symetrii odcinka, zatem jest zarazem środkiem ciężkości.

2.    Określić środek ciężkości jednorodnej linii łamanej, przedstawionej na rys. 4.7. Rozwiązanie

Przyjmijmy układ współrzędnych, jak na rys.

Rys. 4.7

4.7b. Uzupełnijmy łamaną do symetrycznej linii pełnej (rys. 4.7b). Środek ciężkości jest położony w środku symetrii, czyli w punkcie 0. Ciężar linii * jest 21 + 2l_y/'2. Linia łamana jest jednak dopełniona odcinkiem AD o.długości / i środku ciężkości w punkcie 0', o współrzędnych x' = 0 / = - //2.

Z rysunku widać, że figura pełna i nieuzupełniona mają oś symetrii pokrywającą się z osią y, zatem x_c = 0. Obliczamy więc tylko y_c

l

2l(l _{+ y}/2)-0-l(-^\ ę

^y‘ ~ ’    21(1 + ^2)-l ~ 1+ 2iyfl ~ 2(1 + 2^2)''

3.    Znaleźć środek ciężkości pola jednorodnego zawartego pod połówką sinusoidy o amplitudzie A i długości / (rys. 4.8).