mechanika1 (podrecznik)9

122

I

I

Ix = E ^mi^rxi-, i- 1

n

ly Z

(4.20)

i=l

i-. = Z

i = X

oraz biegunowy moment bezwładności

/o= £    ■    (4.21)

i=l

Z rysunku widać, że spełnione są następujące zależności między momentami:

t=r

i=l

j podobnie można sprawdzić zależności dla pozostałych momentów osiowych, tak że:

I_x =    I*: + ly*

Iy =    Iyz + lxy    (4.22)

L =    I_y: + Zo

czyli moment względem osi równa się sumie momentów względem dwóch płaszczyzn prostopadłych, w wyniku przecięcia których powstaje dana oś. Istnieje także związek dla momentu biegunowego I₀

n    n    n    n

I₀ = Z ^mi^r? = Z ™i^Xi + Z + Z ^mi^Zi = hz + Ixz + I_xy,

i-i    i = 1    1=1    i-i

a więc

Iq I_Xy "b I_XZ "b Iyz •

Dodając moment bezwładności I₀ po obu stronach równania (4.23)

2/₀ = Iyz + Ixz + Ixy + Iyz + I_xz + I _Xy = h + Iy + I_x>

po wykorzystaniu związków (4.22) otrzymamy

Io — 2^x + Iy + Ir),

(4-23)

(4-24)

więc biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy momentów względem trzech osi wzajemnie prostopadłych, przechodzących przez dany biegun.

Z definicji momentów bezwładności wynika, że wartości ich są zawsze nieujemne. W przypadku figur płaskich, pewne momenty są równe zeru. Z momentami bezwładności łączy się pojęcie momentów dewiacji (zboczenia).

	A	..-ii-ęn i 1 T,
		i
	/	•

Rys. 4.13

Niech punkt materialny o masie m znajduje się w odległościach r_l i r₂ od dwóch płaszczyzn n_l i 7i₂ wzjamnie prostopadłych. Wartości r_L i r₂ mogą być dodatnie lub równe zeru, bowiem znak odległości zmienia się po przejściu punktu z położenia po jednej stronie płaszczyzny na drugą stronę.

Przez moment dewiacji punktu m względem dwóch płaszczyzn tc_l i n₂ (rys. 4.13) rozumiemy wyrażenie

Dtz₁ jt, = mr_Lr₂    (4.25)

Dla zbioru n punktów całkowity moment dewiacji jest sumą momentów dewiacji poszczególnych punktów. Dla ciała ciągłego wyrażenie przybiera postać

= f^rjdm,    (4.26)

m

przy czym całka jest rozciągnięta ną wszystkie elementy masy ciała. Jeśli gęstość ciała jest stała, to wprowadzając gęstość dm = pdV mamy

= pfflr_Lr₂dV.    (4.27)

Wyrażenie pod całką jest geometrycznym momentem dewiacji. Momenty dewiacji są inaczej zwane momentami zboczenia, a wraz z momentami bezwładności należą do tzw. momentów drugiego rzędu. W przypadku ciała materialnego w układzie przestrzennym współrzędnych kartezjańskich, występują trzy momenty dewiacji

n    n    *    n

D_xy = Z ^dx2 = Z ^mi^xi^zd ^Dyz = Z ^miyi^zi ■    (⁴-28)

i=i    i=i    i=i

W przypadku figur płaskich dwa momenty dewiacji znikają i liczba ich redukuje się do jednego. Momenty dewiacji mogą być ujemne, dodatnie lub równe zeru.

4.4.1. Transformacja równoległa momentów bezwładności (twierdzenie Steinera)

Rozkażmy prosty przypadek figury płaskiej (rys. .4.14). Szukamy zależności między dwoma osiowymi momentami bezwładności, przy czym jedna oś ((,) przechodzi przez środek masy, druga (/) jest do niej równoległa i oddalona o a. Z rysunku widać, że