mechanika1 (podrecznik)8

140

!<■ = ^m.R² + ~ m/i²^ cos²/? + ^mR²sin²/?

D_(n = Dę"C = 0

Wyrażenie funkgi trygonometrycznych kąta /?, przez znane wielkości walca R i h:

sin/? =

2i?

cos/? -

sin 2 p

~> R =

AhR

JAR² + h²' ^K Jar² + h² ’    ^y 4R² + h²

ostatecznie rozwiązuje zadanie.

4.47. Uwaga" o oznaczeniach momentów bezwładności

Stosowane w poprzednim rozdziale oznaczenia momentów bezwładności są w zasadzie błędne, gdyż wzorem (4.33). są zdefiniowane wielkości zwane składowymi tensora. Ogólnie można ten wzór napisać w postaci

IkT = Z Z    (4-52)

m=1n-1

przy czym I_k-_r - składowe tensora momentów bezwładności w nowym układzie współrzędnych,

I_mn. - składowe tensora momentów bezwładności w wyjściowym układzie współrzędnych,

a_k'_m - kosinusy kątów między osią k układu nowego i osią m układu wyjściowego.

Jeżeli składowe pewnej wielkości w wyniku transformacji obrotowej zachowują się zgodnie z prawem (4.52), to wielkość ta nazywa się tensorem o walencji drugiej, a jej składowe - składowymi tensora o walencji drugiej. Podobnie łatwo można wykazać, że składowe wektora a transformują się zgodnie z prawem

3

⁼ Z

m— 1

%

i są składowymi tensora o walenqi pierwszej. Stąd też składowe wektora powinny być oznaczone jednym wskaźnikiem, a składowe tensora o walengi drugiej dwoma wskaźnikami. I tak, dla składowych tensora momentów bezwładności prawidłowe oznaczenia będą następujące:

■■

Momenty osiowe i dewiacji, np.

⁼ ^XX I 3. D_Xy = — ijy ,

natomiast momenty względem płaszczyzn i bieguna nie są składowymi tensora momentów bezwładności, dlatego można tu stosować oznaczenia jednowskaźniko-we, np.

hy = J„

gdyż oś z wyznacza płaszczyznę, xy - jest do niej prostopadła.

Przykład

Korzystając z zależności (4.52) wyznaczyć moment dewiacji D;„ ciała, dla którego w układzie (Qxyz) znane są momenty bezwładności względem osi I_x, I_y, I. i momenty dewiacji D_xy,    i D_yz. Osie układu 0tworzą z osiami układu (0xyz)

kąty następujące:

dla osi f - a₁, ^_lf y_x dla osi rj - ct₂, /J₂, y₂

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia wymagane dla momentów w zapisie tensorowym.

h ⁼ hu h — hu h ⁼ -^33. ~D_xy — hi, ~D_XZ = /13, -D_yz = I₂ 3

co oznacza, że osie x, y, z mają wartości odpowiednio 1, 2, 3.

Podobnie osie £, ?/, £ mają wartości 1', 2', 3'.

Tak więc moment dewiacji D_in=-D_vr. Zatem 33    "    3

^1'2' = I ^ Tnji2rm22'/I = X! (-Tin ^al’l ^a2'n + ^2n ^ai.’2 ^a2'n + -isn ^al'3 ^a2'n) = m=l«=l    n= 1

⁼ hl ^al'l ^a2'l + -fl2^al’l ^a2'2 + Il3 ^al'l ^a2’3 + hl ^al’2^a2'l +^22 ^al'2^a2'2 +

9

_# + hz ^al'2 ^a2'3 + -^31 ^al'3 ^a2’l + ^32 ^al'3 ^a2'2 + -^33 ^al'3 ^a2'3 =

= 7_xcos a_t cos a₂ - D_xy cos ct₂ cos-f}₂ - D_xz cos a₂ cos y₂ - D_yx cos /?_t cos a₂ +

+ /yCos/^cos/Jj - D_yz cos^₁cosy₂ -/„cosyj cosaj -/.yCosy! cos/?₂ +

+/jCosyj cosy₂ = 7_xcosa₁cosa₂ + /_ycos^₁cos^₂ + /.cosy₁cosy₂ -- D_xy(cosa_l cos P₂ + cos fi^ cosa₂) - D_x.(cosa₁ cosy₂ + cos?! cosa₂) -- Dy^cos/ij cos y₂ + cos y₂ cos /?₂).

Biorąc pod uwagę, że moment D_vv = -D_in znajdujemy wynik