6
zaznaczamy zorientowanym odcinkiem o długości równej kątowi, kierunek przyjmijmy prostopadły do płaszczyzny obrotu, zwrot prawoskrętny. Przejście od punktu A do Ą2 jest możliwe bezpośrednio, a także pośrednio przez punkt At, dzięki dodaniu obrotu AAl do obrotu ALA2. Z rysunku widać wyraźnie, że wektory obrotów OA" (wektor obrotu AA2) i O A' (wektor obrotu /L4X + AlA2) nie są w obydwu wypadkach równe, a więc obroty nie podlegają prawu dodawania wektorowego i nie można ich uważać za wektory.
. def
b = a ■ m
W wyniku mnożenia wektora a przez liczbę m otrzymujemy wektor, którego:
1) moduł jest m razy większy |a • m\,
2) kierunek taki, jak wektora a,
3) zwrot jest zgodny z a dla m > 0 (rys 1.9), a przeciwny a dla m < 0. Stosują się tu prawa (li /r - dowolne liczby rzeczywiste):
a) łączności iloczynu wektora przez liczbę, zapisane w postaci
2(/ra) = (Xn)a,
b) rozdzielności iloczynu względem dodawania liczb
Rys. 1.9 (1 + fi)a = Xa + na-,
c) rozdzielności iloczynu względem dodawania wektorów
2(a + b) = Za + Ib.
Dzielenie wektora- przez liczbę sprowadza się do mnożenia wektora przez odwrotnbść tej liczby.
Jeśli mamy wektory a i b (niezerowy) równoległe, to przez miarę wektora a przy b jako jednostce nazywamy liczbę X, której wartość X = |a|/|ó| jest bądź dodatnia, jeśli a i b są zgodnie równoległe, bądź ujemna, jeśli a i b są niezgodnie równoległe. Nie ma sensu pojęcie miary wektora przy innym wektorze niezerowym jakcf jednostce dla wektorów nierównoległych. Wektory nierównoległe można porównać jedynie np. w sensie ich modułów.
15. Wektor jednostkowy
Jeżeli wektor a podzielimy przez jego moduł, to otrzymamy wektor a° o module równym jedności oraz kierunku i zwrocie takim samym, jak wektor a.
Wektor taki nazywa się wektorem jednostkowym danego wektora lub krócej - wersorem.
1.6. Układ wektorów
Niech będzie dane n wektorów: aL,...,a„ i n liczb rzeczywistych XL,...,X„. Wektor b równy
b = Xlal + X2a2 + ... + Xnan = £ Xiai
i=i
nazywamy agregatem wektorów a1,...,a,.o współczynnikach Xl,...,X„. Agregat nazywa się niezerowym, jeżeli nie wszystkie współczynniki Xv..., Xn są równocześnie równe 0, tzn. jeśli
i = l
1.7. Liniowa zależność wektorów
Wektory 0^ a2, a3, ...,a„ nazywamy limowo zależnymi, jeżeli istnieje agregat niezerowy dający wektor zerowy.
Przypadki szczególne:
Jeśli dwa wektory a i b są liniowo niezależne, to istnieją liczby a i /i takie, że aa + Pb = 0 i a2+/?2>0.
Jeśli a 0, to
a więc wektory a i b są równoległe, czyli kolinearne.
Jeśli trzy wektory są liniowo zależne, to istnieją liczby a, fi, y, takie, że
aa + Pb+yc — 0 i a2 + /?2 + y2>0.