Kolendowicz 5

■    Rozpatrzmy pole przedstawione na rys. 5-29. Przez środek ciężkości tego pola przeprowadźmy osie x i y, dla których momenty bezwładności i moment dewiacji wyrazimy wzorami:

I_x = $y²dA, I_y = $x²dA, D_xy = jxydA.    (5-20)

AA    A

■    Weźmy pod uwagę drugi układ osi u, v, obrócony względem układu osi x, y o kąt * a i wyraźmy moment /„, I_t i £>„ za pomocą znanych wielkości I_x, I, i D_xr Z rysunku 5-29

odczytamy, że u = xcosa + ysina i v = y cos ot — x sin a.

■    Moment bezwładności /„ wyrazimy następująco:

/„ = fy²dA = J(ycosa — xsina)²<//l =

A    A

= cos²a fy²dA — 2sinacosajxydA + sin²ajx²</,4

A    A    A

lub Iu = Ix cos^2 a. + Iy sin^2 a — Dx>. sin 2a. ■ Podobnie wyznaczymy momenty /„i £>„:	(5-21)
Ir = /*sin^2a + Iy cos^2 a + Z)x/sin2a,	(5-22)
Duv = ^(Ix - Iy)sin2a + Dxycos2a.	(5-23)
Podstawiając cos^2a = ^(1 + cos2a), sin^2oc = i(l — cos2a), można przekształcić do postaci:	powyższe równania
/. = ^(/, + Iy) + Ix ~ /,)cos2oc - DIJrsin2a,	(5-24)
I. = + I,) ~ Ix ~ /r)cos2a + £>x,sin2a,	(5-25)
Dm = ^(Ix - /y)sin2a + Dxycos2a.	(5-26)
■ Jeśli w szczególności nowe osie u i v pokrywają się z głównymi osiami bezwładności, to — jak wiadomo — moment dewiacji będzie równy zeru, a więc
Ix — Iy) sin2a0 + Dxy cos2a0 = 0.
Z równania tego obliczmy kąt a0, o jaki trzeba obrócić układ osi u. aby stały się one głównymi osiami bezwładności I i 2	v względem osi x i y,
- ^2Dxy	(5-27)

Z zależności tej otrzymuje się dwie wartości kąta a₀ różniące się o 90°, co odpowiada kierunkom dwóch osi głównych. Oś 1 tworzy z osią x kąt ostry, gdy moment dewiacji jest

95