186(1)

869.    Znaleźć środek ciężkości:

1)    bryły jednorodnej, ograniczonej paraboloidą c(x²+y²) = 2a²z i stożkiem c²(x²+y²) *= cfź²,

2)    ósmej części jednorodnej elipsoidy    < 1,leżącej w pierw

szym oktancie przestrzeni,

3)    półkuli 0 < z < |/R²—X²—y². której gęstość objętościowa w każdym punkcie liczbowo jest równa odległości tego punktu od środka podstawy półkuli.

870.    Bryłę niejednorodną ograniczają płaszczyzny x = 2, y = 0, y — 1, z = 0 i walec z² *= 6x. Gęstość objętościowa bryły w każdym jej punkcie jest wprost proporcjonalna do odległości tego punktu od płaszczyzny xOy. Obliczyć moment bezwładności bryły względem osi Oz.

87L Obliczyć biegunowy moment bezwładności (względem początku układu) bryły jednorodnej, zawartej między stożkiem z² — x²—y² a sferą x?+f+ć «= R^A.

§ 8. Całki krzywoliniowe i ich obliczanie. Warunek niezależności od drogi całkowania

Rozważmy pewną funkcję f(M) ciągłą w każdym punkcie M tuku AB. Podzielmy ten łuk w dowolny sposób na n łuków częściowych, o długościach d/,, d/₂, .... d/„ i wybierzmy na każdym z nich po jednym, dowolnym zresztą, punkcie M_lt M_z, ... M_n. Obliczmy wartości funkcji f(M) w tych punktach i utwórzmy sumę

n

f(Mj)Al_l+f(M₃)^l₂+ ...

/= i

nazywaną sumą całkową funkcjif(M) po luku AB.

Naturalnie, dla każdej danej funkcji f(M) i dla każdego danego łuku AB można utworzyć nieskończenie wiele różnych sum całkowych, dzieląc w różny sposób łuk na n części i w różny sposób wybierając w każdym z łuków częściowych po jednym punkcie M_t. Jednakże gdy n rośnie nieo-graniczenie i gdy przy tym długość największego z łuków częściowych zmierza do zera, to wszystkie te sumy całkowe mają jedną i tę samą wspólną granicę. Granicę tę nazywamy całką krzywoliniową (względem długości łuku) funkcji f(M) po łuku AB i oznaczamy symbolem //(M) dl.

AB

Podobnie określa się całki /P(M)dx, f Q(M)dy lub \ R(Af)dz

AB    AB    AB

względem rzutów łuku (czyli całki względem współrzędnych). Całki te określamy jako granice sum całkowych funkcji P(M), Q(M) lub R(M) wziętych po łuku AB, z tą jedynie różnicą, że tworząc ich sumy całkow^re wartości funkcji f(M) w punktach Af, (łuku) mnożymy nie przez długości odpowiednich łuków częściowych zł/,, lecz przez ich rzuty Ax_h Ay_i lub Az_t na osie układu.

Całka krzywoliniowa f Pdx+Qdy-\-Rdz oznacza sumę całek krzywoli-

AB

niowych w^ryżej podanych postaci.

Całkę krzywoliniową po zamkniętej płaskiej linii / przy dodatnim kierunku obiegu tej linii (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek

zegara) oznaczamy symbolem §, a przy ujemnym kierunku obiegu —

-w

symbolem $.

-/

Zwykła (prostoliniowa) całka oznaczona jest szczególnym przypadkiem całki krzywoliniowej, w której linią całkowaną jest prostoliniowy odcinek osi układu

Przy zmianie kierunku obiegu krzywej na przeciwny całka krzywoliniowa zmienialąnak

'    / = - I

AB    BA

Krzywą_f po której przebiega całkowanie, wolno dzielić na części

r    /= J + J

AB AC CB

Obliczanie całki krzywoliniowej I sprowadza się do obliczenia zwykłej

AB

całki oznaczonej. W tym celu korzystając z równania (lub z równań) linii całkowania AB przekształcamy wyrażenie podcałkowe na funkcję jednej zmiennej. Wartości, jakie zmienna ta przybiera na początku i na końcu łuku AB, określają granice otrzymanej całki oznaczonej.

Na ogól wartość całki krzywoliniowej zalety od tego, po jakiej linii całkujemy. Wartości całek branych wzdłuż różnych linii łączących punkty A i B /nogą być różne.

Jeśli jednak w pewnym jednospójnym^X) obszarze D wyrażenie P(x, y)dx+

‘) Obszar plaski nazywamy jednospójnym, jeśli każdą linię zamkniętą, leżącą w tym obszarze, można ściągnąć do punktu, nie wyprowadzając ją przy tym poza obszar.