030(1)

3) lim

*-»_Tl X

..    ⁷ 3

= lim 1/ • — = -foo

a więc j 3x jest nieskończenie małą rzędu niższego niż x.

1

4) lim

*T

. x    . x

Siny    Siny

= lim-= lim—• lim-

x    x    x

X COS -    COS y

1

5~

= 4- ■ 1

1    ^SJn5‘

= -=-lim----

5    *

5

X

czyli tg y jest nieskończenie małą tego samego rzędu, co x.

5) lim

JgO l -*)

= lim Ig (1 -f-jc)* = lge

a więc lg(l -_rx) jest wielkością nieskończenie małą tego samego rzędu, co x.

116. Wykazać, że gdy x -» 0, to:

1) sinzrx x ax, 2) tgax X ax, 3) arcsina.r X ax,

4) arctga* X ax, 5) ] l-j-x—1 X ~x.

Rozwiązanie. Aby wykazać równoważność dwóch wielkości nieskończenie małych należy znaleźć granicę ich stosunku. Jeżeli okaże się, że granicą tą jest jedność, to nieskończenie małe są równoważne.

.... sinax    .. sin ax

1)    hm-- = hm -    =1

x->0 O.X    ax—> 0

tg cix    sin ax    sin ax ..    1    .    .

2) hm —-= lim ——    - = lim -• hm--= 1-1 = 1

,v .o ax    ax cos ax _ax >o ax    cos ax

.. arcsina.T .. a

3) lim-= lim —— = 1

x-*q ax _s_>o sina

Podstawiamy tu aresina* = a, skąd wynika, że ax = sin a i a -» 0, gdy jc -> 0.

4) lim

*->■0

= lim-— 1

tg z

arc tg ax

ax

Podstawiamy tu arctgax = z, skąd wynika, że ax = tgz oraz z -> 0 gdy -X 0.

5) lim

) 1+JC-l

x >0

X

T

2 lim

1+je-l

*0 i-

■1)

2 lim

.1

]/!+*+1

= 1

117. Wykazać, że jeżeli łuk AB okręgu (rys. 24) dąży do zera (przy stałym promieniu), to cięciwa AB jest nieskończenie małą równoważną AB, zaś „strzałka” CD jest rzędu wyższego niż AB.

Rozwiązanie: 1) Niech .* będzie miarą łukową kąta AOB, wtedy

AB = Rx i AB = 2R sin oraz

AB 2R sin y sinf

lim^r - lim —— — = lim- — = 1 AB a-o Rx

2

Nieskończenie mały łuk okręgu i cięciwa spinająca ten łuk są więc równoważne: AB X AB.

2) Z rysunku 24 znajdujemy: CD = OD = OC = R—R cos — , czyli

R(l-COSy)

Rx

CD

lim^=- = lim AB *—<>

2 sin² •

- lim -

. x

1    ^sin T    1

= —r— lim-- • lim sin ~ = - - • 1-0 = 0

2    x    4    2

Zatem „strzałka” CD jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż AB.

D

A

118. Korzystając z tego, że przy znajdowaniu granicy stosunku dwóch nieskończenie małych można zastępować je nieskończenie małymi równoważnymi (własność II), wyznaczyć granice:

sin 3x

a:—0

sin4x 1) lim-r-

2) lim ^ sin'

59