Ebook3

76 Rozdział 3. Granica t ciągłość funkcji

c) Ponieważ lim tg3x = 0, więc korzystamy z równości (3.2) i otrzymujemy i—»o

76 Rozdział 3. Granica t ciągłość funkcji

lim (1 + tg3x) ^Ci

x—*0

= lim

x—*0

_K3j

Gx

PRZYKŁAD 8. Obliczyć granicę lim^ ROZWIĄZANIE.

Dla każdego i6R mamy — 1 ^ sinx ^ 1.

Stąd

2x² — 1    2x² + sinx 2x² + 1

6x² + 5 ^    6x² + 5    "" 6x² + 5

Ponieważ

1

3’

2x² — 1    1    2x² + 1

lim —»-- = - oraz lim —^--

i—*+oo 6x^ + 5    3    x—+oo 6x^ 4- 5

więc z Twierdzenia 3.2 o trzech funkcjach wynika, że

2x²4-sinx 1 lim . ₀—— = -. x—>+oo 6x² + 5    3

PRZYKŁAD 9. Obliczyć granice:

^a) xH?„^X(\/^1+Sin£-¹),

_o x^ + 2x x³-27

_b)    i™

^C)    arcsin(x—3) *

ROZWIĄZANIE.

2 _»2

a) Korzystamy ze wzoru a — b = ^aa+b oraz z granicy (3.1) i mamy

lim x

x—*-f oo

1 4- sin ---1 1 = lim

4x

x—»4-oo

xsini

l/l+^sin4 ^{+ 1}

= lim

x—*+oo r. • i . ,

V l+smi + l

= I = -2 8'

i.) W celu obliczenia tej granicy dokonamy podstawienia arctg(x -f 2) i, > mi.itępnie skorzystamy z (3.2). Otrzymujemy

lim

arctg(x + 2)

• 2 x^Ł + 2x

arctg (x + 2) x -ł- 2 x

x —* —2

t

tg t

tg t - 2 i-> 0

= lim

t-o (tg i - 2) tg i

= lim

(tgi-2)^

1

2

> \by obliczyć tę granicę, dokonujemy podstawienia arcsin(x — 3) = i, ■ im tępnie korzystamy ze wzoru a³ - ó³ = (a — b) (a² + ab + b²) oraz (3.1)

x³ - 27

lim . . i—3 arcsin(x — 3)

arcsin(x — 3) = i

x — 3 = sin i x = sini+ 3 x —► 3 => i —► 0

(sin i + 3)³ — 3³

= lim---

t—o    i

.. sini

= lim-

t—o i

(sin² i + 9 sin i + 27) = 27.

¹ 11 . KI,AD 10. Obliczyć granice:

((I UWIĄZANIE.

. podstawie granicy (3.4) mamy

lim

x—0

e^4x - 1

5x

lim

x—0

4(e⁴¹ - 1) 5 • 4x

4

5

i ii/ystamy z równości (3.4) oraz (3.2) i otrzymujemy

lim

x—o

1 — e^3x tg 2x

lim

x—0

X

tą2x

x

= lim    = -1

x—o 2 *^s-²    2

2x