34667 MATEMATYKA059

110 Ili Rachunek różniczkowy

X —> -00.

Analogicznie definiujemy nieskończenie małą przy x —> +oo lub

Dla przykładu, funkcja f(x) = x‘ przy x-*0, funkcja

g(x) = e ^x przy x -> +x są nieskończenie małymi.

Jeżeli funkcje f, i f₂ są nieskończenie małymi przy x

lim Irlec,

x₀ oraz

X-*X₀

f₂(x)

przy czym 0<|c|<oo, lo funkcje f, i f₂ nazywmny nieskończenie małymi tego samego rzędu. Jeżeli natomiast c = 0, to mówimy, że f, jest nieskończenie małą wyższego rzędu niż f₂ przy x —> x₀, co zapisujemy

f,(x) = o(f₂(x)).

PRZYKŁAD 1.9 Niech f,(x) = l-cos2x, f,(x) = x, f,(x) = x^:. Ponicw-aż lim(l -cos2x) = lim x = lim x* = 0, więc

x-»0

x-*0

funkcje f,(x), f₂(x), f₃(x) są nieskończenie małymi przy' x->0. Jednocześnie mamy

_Hmm _{= lim}!ręos2x U} _{= hm}a

x-»of₂(x)    x-*0 X    l 0 J *-*0

li sin x

= 0.

Zatem f,(x) jest nieskończenie małą wyższego rzędu niż f₂(x) przy' x -> 0, co można zapisać 1 cos2x = o(x). Natomiast f,(x) i f₃(x) są nieskończenie małymi tego samego rzędu przy x > 0. gdyż

_limM_=Uml^co^ _{= ljm}2siąix ₌ 2    ■

x >0 fj(x)

X >0

x »0

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Korzy stając z definicji Heinego obliczyć granice: ' x + 3    ....    3

a) lim

x-*i x-2

b) lim

* *(X-2)²’

2. Naszkicować wykres funkcji f takiej, żc:

c) lim (1 —lnx).

x »0«

lim f(x) = 1,

x-*2ł

lim f(x) = -oc,

x-łO*

lim f(x) ■ -°°i

X >1

lim f(x)=l;

X*+«>

a)    lim f(x) = +oo,

x-»2

b)    lim f(x) = +co_>

x-+0-

c)    limf(.\) = -oo, lim f(x)=4oo, lim f(x)=0;

X—»l

d)    lim f(x) = +oo, lim f(x) = 0, lim f(x) = +oo.

x~#-2-    x-b-2«    x-»«*c

Naszkicować wykres funkcji f, a następnie podać granice tej funkcji przy x -> -oo, x    > 0-,    x —> 0+,    x-> +oo,    gdy

<L

a) f(x) = ( ^x"^!'₂    *<»•    b) f(x)    K^x>'    ^x<0;

(x-x ,    x>0,    (2 ,    x£().

Naszkicować wykres funkcji f, a następnie podać granice tej funkcji przy x -cc, x->()-, x-»0+, x->7i-, gdy

a) f(x) •

x^2 +2x +1,	x<0,		arcctgx.	x<0,
0,	x = 0,	b) f(x) =	1,	x » 0,
ctgx,	0 < X < TT,		X . ^tg2’	0 < X < 71.

4x-x³

W ‘

a) f(x) = sgnx=

5 Naszkicować wykres funkcji f, a następnie podać granice tej funkcji przy x -» -oc ₉ x -» 0-, x -> 0+, x -> +oo, gdy -1, x<0,

0,    x = O, b) f(x) = —-7-p-

1,    x>0,

b) lim

Obliczyć granice:

.    3+>/x-x^s

a) lim -r-:—,

X M» 2x + l

c) lim (3x-^9x³ -2),

K—*♦*    _

c) lim(x+Vx²+3x),

«♦ •*>

.    l + x-\f +2

g) lim —r_v—

x ► • «■    .'X — Z

,s^xl' -.r+2

I) lim — —_r,

x *•■*> 5 +2

3*+2 ^x-l

k) lim ——r ~— ,

x » »3^X"'- 2 -2 -V?+x^:

x mcc 2x² + x ^

? d) lim(3x-Vy>i^; 2).

x-*-«n

O lim (2 *+3^x-5),

X > w

.    l+x-Vx*+2

n) lim -r-r--,

x-+-«>    3x—2

a    5**'-.V+2

\ J> ^I,m ~7^rr •

x-*-^,r 5 + 2

2x

I) lim---r— --,

X » *    3xfl