10 (32)

183

Różniczkowanie

mającą w /*tej kolumnie (Dy/) (x). Zatem [/(t)] jest macierzą lx 1, której jedynym wyrazem jest liczba rzeczywista

(33)    gW m . t (DJ) (?(f)Mt).

• - i=l-

Jest to często spotykany przypadek różniczkowania funkcji złożonych. Można go sformułować inaczej w następujący sposób.

Każdemu x e E przyporządkujmy wektor, tak zwany „gradient” funkcji/w punkcie, x, określony wzorem

(34)    (V/)(x)= tto/H*)*,;    .

1*1

Ponieważ

(35)    *>*2    - T'    '

m i

więc (33) możemy przepisać w postaci

(36)    g’(i) = (V/) (y(t))y!(t),

to jest w postaci iloczynu skalarnego wektorów (V/) (y(t)) i y'(t).

Ustalmy x i niech ueR" będzie wektorem jednostkowym (tj.ju| * 1) i niech będzie krzywą określoną wzorem

(37)    y(0 m. x+fu (-co < t <

Wtedy y'(i) = u dla dowolnego t. Z rów nania (36) otrzymujemy

(38)    /(0) = (V/)(x)u.

Jednocześnie z (37) ff(t)-g(0) = /(x+tu)-/(x) i wobec tego z (38)

(39)    Um^^(x^^|r|^W)(x)u.

»-o - WP t -

Granica (39) jest zazwyczaj nazywana pochodną kierunkową funkcji / w punkcie x i w kierunku jednostkowego wektora u, i może być oznaczana przez (DJ) (x).

Jeśli/ i x są ustalone, a zmieniamy u, to z (39) wynika, że (DJ) (x) osiąga maxitńum, kiedy u jest wektorem równoległym do (V/) (x), przy czym współczynnik proporcjonalności jest dodatni. (Musimy w tym przypadku wykluczyć z rozważań przypadek, kiedy (V/) (x) = 0.)

Jeżeli u = to wykorzystując (39) możemy wyrazić (DJ) (x) w terminach pochodnych cząstkowych/ w punkcie x wzorem:

(40)    (D./)(x)= t(DJ)(x)_Ui.

I* if 1

Idee dyskutowane tu mają wiele wspólnego z twierdzeniem;