82295

Definicja 6.17 (Pochodne cząstkowe wyższych rzędów)

Niech funkcja n zmiennych ma pochodne cząstkowe rzędu m > 1 przynajmniej na otoczeniu punktu Po G inti4. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie Po pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu m+1 funkcji f w punkcie Po.

Przykład 6.7 Znaleźć pochodne cząstkowe trzeciego rzędu następujących funkcji: a)f(x,y,z)=x²y + zy³ b)f(x,y,z) = ln(x + 2y - 3z) c) f(x,y) =

Definicja 6.18 (Funkcje klasy C^m)

Jeżeli funkcja f . A —* Tl. A C Tl" ma w zbiorze otwartym A ciągle pochodne cząstkowe do rzędu m włącznie, to mówimy, że funkcja f jest klasy C^m na tym zbiorze i zapisujemy: f € C^m(A).

6.6 Pochodne cząstkowe funkcji złożonej

Niech dana będzie funkcja n zmiennych z =    /(* i»£2> •••»*<» •••»*?»)» gdzie

(xi,X2,. .. ,Xj,... ,x„) G D. D C Tl", oraz n funkcji ii = fi(ti,t2,...,t_m), (ti,t2,---,tm) € A, AC Tl’". przy czym <^(A) C D.

Wówczas funkcja złożona z — f (<Pi(ti,t2, •. • ,t_m),... ,ip_n(ti,t2.....f_m)) jest funkcją m

zmiennych.

Twierdzenie 6.4 (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)

Jeżeli funkcja z — f(x\,X2,... ,x,,... ,x_n) jest klasy C* na zbiorze D oraz funkcje fi(t 1.12,..., t_m) mają pochodne cząstkowe na A. to funkcja złożona z = f (fi, f>2*•.., f_n) ma pochodne cząstkowe na A. Wówczas:

k = 1,2.... m

dz ^ df dfi dt_k “ dxi dt_k '

Przykład 6.8 Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych z = f(x, y). / G C^X(D), gdzie x = 0(u, v), y = 0(u, v), (u, v) G A. A C Tl², oraz <fr, 0 G C¹ (A).

Wówczas wzory na pochodne cząstkowe i przyjmują postać:

dz	= df	d<f> df	dó
du	dx	du dy	' du
dz	= £/.	do df	do
dv	dx	dv ^+ dy	!h

Rozważmy jeszcze dwa szczególne przypadki:

1.    z = f(x.y). x = x(t), y = y(t). Funkcja złożona z = f (x(t),y(t)) jest funkcją tylko jednej zmiennej. Mamy zatem:

dz _ df di Of dy dt    dx dt * dy dt

2.    z = f(x,y), y = y(x)

*± ₌ <>l ₊ dl'dy

dx dx dy dx

Przykład 6.9 Funkcja z — z(x,y) spełnia warunek ^4 + ^4 = 0. Pokazać, że funkcja f(u, v) = z(u² - v²,2uv) spełnia równanie    = 0.

40